模糊数学2008-8(等价关系与相似关系)

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1、模糊数学8孙舒杨Email.sysun@jlu.edu.cn1吉林大学计算机科学与技术学院作业答案2吉林大学计算机科学与技术学院3吉林大学计算机科学与技术学院4吉林大学计算机科学与技术学院5吉林大学计算机科学与技术学院习题3-36吉林大学计算机科学与技术学院习题3-67吉林大学计算机科学与技术学院习题3-78吉林大学计算机科学与技术学院习题3-7答案9吉林大学计算机科学与技术学院内容回顾模糊等价关系（矩阵）自反性R(u,u)=1或I⊆R对称性R(u,v)=R(v,u);传递性R2⊆R10吉林大学计算机科学与技术学院模糊等价矩阵的性质

2、若R为模糊等价矩阵，则R=R2=R3=…=Rn-1=Rn证明：自反性：R⊆R2⊆…⊆Rn-1⊆Rn传递性:R⊇R2⊇…⊇Rn-1⊇Rn11吉林大学计算机科学与技术学院模糊等价矩阵的定理1定理1.R是模糊等价矩阵⇔对于任何λ∈[0,1]，Rλ是等价布尔矩阵。证明：对称性、自反性显然传递性的证明见3.6节定理112吉林大学计算机科学与技术学院定理1的意义模糊等价矩阵普通等价矩阵普通等价矩阵⇔普通等价关系普通等价关系可以分类当λ在[0,1]上变动时，得到不同的Rλ,从而得到不同的分类13吉林大学计算机科学与技术学院模糊等价矩阵分类——例

3、设U={u1,u2,u3,u4,u5}求当λ＝1，0.8，0.5，0.4时的聚类结果。14吉林大学计算机科学与技术学院模糊等价矩阵的定理2定理2.R∈μn×n是模糊等价矩阵，则对于任何λ,μ∈[0,1]，且λ<μ，Rμ所决定的分类中的每个类都是Rλ所决定的分类中的某个类的子类。说明什么？λ越大，分类越细15吉林大学计算机科学与技术学院动态聚类图λ由1变到0的过程，是Rλ的分类由细到粗的过程，从而形成了一个动态的聚类图。x1x2x3x4x5λ=1λ=0.8λ=0.4λ=0.6λ=0.516吉林大学计算机科学与技术学院3-8模糊相似关系

4、17吉林大学计算机科学与技术学院模糊相似关系的定义设R∈F(U×U)，若R具有自反性和对称性，则称R为U上的一个模糊相似关系例如：模糊关系“熟悉”、“朋友”、“同学”等模糊相似关系vs.模糊等价关系没有了传递性的要求18吉林大学计算机科学与技术学院为何研究模糊相似关系？实际应用中，通常只能得到自反和对称矩阵（相似矩阵），模糊等价矩阵较为少见Questions.对具有相似关系的元素如何分类？相似矩阵可否改造为等价矩阵？19吉林大学计算机科学与技术学院全新概念——传递闭包设A,Â,B∈F(U×U)，若Â为包含A的传递关系即A⊆Â且Â2⊆

5、Â对于任何包含A的传递关系B，都有Â⊆B则称Â为A的传递闭包，记为t(A)=Â20吉林大学计算机科学与技术学院传递闭包是什么？R的传递闭包t(R)是包含R的最小的传递关系21吉林大学计算机科学与技术学院传递闭包的定理1定理1.设模糊矩阵A∈μn×n，则其中，t(A)是传递闭包。22吉林大学计算机科学与技术学院传递闭包定理1证明23吉林大学计算机科学与技术学院传递闭包的定理2定理2.设模糊矩阵A∈μn×n，则其中，t(A)是传递闭包。24吉林大学计算机科学与技术学院定理2的意义定理2说明，当R是n阶方阵时，至多用n次并运算，就可以得到

6、R的传递闭包定理2极大地简化了传递闭包的计算25吉林大学计算机科学与技术学院内容回顾模糊相似矩阵自反性对称性传递闭包传递性模糊相似矩阵传递闭包模糊等价矩阵26吉林大学计算机科学与技术学院改造有理！定理.相似矩阵R∈μn×n的传递闭包是等价矩阵，且t(R)=Rn证明：只需证明自反性和对称性R自反⇒I⊆R⊆R2⊆…⊆Rn⇒t(R)=∪k=1nRk=Rn是自反的对称性。R=RT⇒(Rn)T=(RT)n=(Rn)27吉林大学计算机科学与技术学院模糊相似矩阵模糊等价矩阵将相似矩阵改造成等价矩阵只需求相似矩阵的传递闭包28吉林大学计算机科

7、学与技术学院可否更简单？t(R)=Rn定理.设R∈μn×n是模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数k(k≤n)，使得传递闭包t(R)=Rk，对于任何自然数b≥k，都有Rb=Rk，此时，t(R)是模糊等价矩阵。29吉林大学计算机科学与技术学院平方法求传递闭包从模糊相似矩阵R出发，依次求平方：当第一次出现Rk◦Rk=Rk时，Rk就是所求的传递闭包t(R)30吉林大学计算机科学与技术学院时间复杂度31吉林大学计算机科学与技术学院课堂作业设请问至多几次平方可以到达传递闭包？请给出传递闭包t(R)32吉林大学计算机科学与技术学院3-9聚类分析33

8、吉林大学计算机科学与技术学院聚类分析所谓聚类分析，就是用数学方法对事物进行分类应用十分广泛模糊数学产生之前，聚类分析是数理统计多元分析的一个分支现实分类问题具有模糊性，例如“环境污染分类”、“岩石分类”等用到模糊聚类分析34吉林大学计