f等价关系与聚类分析

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1、六、F等价关系与聚类分析1．定义（1）定义1　设，如果同时具有自反性、对称性和传递性，则称是一个模糊等价关系。2．有关定理定理1（等价定义）设，则是模糊等价关系的充分必要条件是对任意，都是等价关系。即（1）自反自反；（2）对称对称；（3）传递传递。若有限，则称为F等价矩阵。按可进行分类，取不同值可将分为不同的类。（越大分的越细）定理2　（加细）设，，则按将分成的每一类必定是按将分成的类的子类。证　（两个元素按分类属于同一类，按也必在同一类），且，则，即所以按分类时也归为一类。#　　　　　　　　　当由1逐步降至0时，按分类所含元素由

2、少变多，逐步归并，最后成一类。这个过程称为动态聚类。例1　设，对进行动态聚类（分类）解：验证是等价矩阵自反？对称？所以，具有传递性，故是F等价矩阵。易知，当时，分为一类：；当时，分为两类：，；当时，分为三类：，，；当时，分为四类：，，，；35当时，分为五类：，，，，。七、F相似关系1．定义1　设，若满足：（1）是自反的，（2）是对称的，则称为上的一个F相似关系。有限，称为F相似矩阵。2．定理1　相似矩阵的传递闭包是等价矩阵，且。证　（证什么？）（1）是自反的，故，，即是自反的。（2）因为，，故是对称的，因此是等价矩阵。#定理2　设

3、是自反矩阵，则，均有证　由自反得故有所以　　　　　　　#实际应用中：令　　，　解出　，至多步，即可得到传递闭包，也即模糊等价矩阵。例1设求的传递闭包。解显然是相似矩阵35,所以是F等价矩阵。3．F相似关系的建立设，每一对象可由一组数据表示如下：与之间相似程度如何？许多方法（贴近度，，视为模糊集），下面给出几种常用方法。①数量积法②相关系数法其中③最大最小法④算术平均最小法⑤几何平均最小法⑥绝对值指数法⑦绝对值减数法其中，c适当选取，使。⑧除上述方法外，还可请专家或由多人打分再平均取值等方法。例1　环境单元分类设=（5,5,3,2）

4、；=（2,3,4,5）；=（5,5,2,3）；=（1,5,3,1）；=（2,4,5,1）。试对进行分类。解第一步：建立相似关系，按方法⑦，取，得F相似矩阵35第二步，求所以，是传递闭包，也是等价矩阵。第三步按，对不同的进行分类。结果为：当时，分为一类：；当时，分为两类：，；当时，分为三类：，；当时，分为四类：，，，；当时，分为五类：，，，，。例2　设表示由父、子、女、邻居、母五人组成的一个集合，请陌生人对这五人按相貌相像程度进行F分类。解先建立相似关系按相貌相像程度打分，得相似矩阵再求传递闭包，即F等价矩阵最后，用对进行聚类。结果

5、为：当时，分为一类：；当时，分为二类：35，；当时，分为三类：，，；当时，分为四类：，，，；当时，分为五类：，，，，。4．直接聚类法不求等价关系，直接用相似关系进行聚类。（1）F关系图与聚类原则①F关系图0.1权重0.3权重②聚类原则与在水平上同类在图中，存在一条权重不低于的路联结与。例3　照片分类现有三个家庭，每个家庭由四至七人组成，每人一张照片，共有十六张。通过照片按相貌程度分类，把三个家庭区分开来。解建立相似关系得相像矩阵书中122页，表3.112345678910111213141516123456789101112131

6、415161120130014000.41500.800160.500.20.201700.8000.40180.40.20.20.500.801900.400.80.40.20.40110000.20.2000.200.211100.50.20.2000.800.40.2112000.20.800000.40.801130.800.20.400.400.4000011400.800.20.400.800.20.20.600115000.40.800.2000.2000.20.201160.6000.20.20.800.40000

7、0.40.20.41取进行聚类，结果为五类；，结果为四类。此时，除③外，其余15张照片可分为三类（即三家）。（2）编网法（取截矩阵）做法：①对角线填入元素符号②，对角线左下方，以*取代1，以空格代0，且*所在的位置称为结点③从结点出发向对角线引经线（竖线）及纬线（横线）。（编网）④通过打结而能互相联结（捆绑）的点属于同一类。（3）最大树法①画最大树：按的大小顺序依次用直线将元素连接起来，并标上权重，直到所有元素连通为止。②取定，去掉权重低于的连线，互相连通的元素归为一类。35