数字图像处理中常用变换

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1、一、离散傅里叶变换1.离散傅里叶变换的特点离散傅里叶变换（DFT），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对无限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。DFT将空域变换到频域，很容易了解到图像的各空间频域的成分。DFT的应用十分广泛，如：图像的特征提取、空间频率域滤波、图

2、像恢复和纹理分析等。2.离散傅里叶变换的性质1）线性性质2）比例性质3）可分离性4）平移性质5）图像中心化6）周期性7）共轭对称性8）旋转不变性9）卷积定理10）平均值二、离散余弦变换1.离散余弦变换简介为了快速有效地对图像进行处理和分析，常通过正交变换将图像变换到频域，利用频域的特有性质进行处理。传统的正交变换多是复变换，运算量大，不易实时处理。随着数字图像处理技术的发展，出现了以离散余弦变换（DCT）为代表的一大类正弦型实变换，均具有快速算法。目前DCT变换在数据压缩，图像分析，信号的稀疏表示等方面有着广泛的应用。由于其变换矩阵

3、的基向量很近似于托普利兹（Toeplitz）矩阵的特征向量，而托普利兹矩阵又体现了人类语言及图像信号的相关特性，因此常被认为是对语音和图像信号的最佳变换。对给定长度为N的输入序列f(x)，它的DCT变换定义为:式中：，式中的的满足：在数字图像处理中，通常使用二维DCT变换，正变换为:其逆变换IDCT为:式中：，。由于DCT的变换核是可分离的，为此，二维DCT变换可通过两次一维变换实现，这一方法称为行列分离法。其过程如下图所示：由图知，该方法是先沿行（列）进行一维DCT变换计算，再沿列（行）进行一次一维DCT变换，共需做M次N点的和N

4、次M点的一维DCT变换。其好处是结构简单，容易实现。在DCT变换中，我们称F（0，0）为DC系数，其余为AC系数。下图说明了DCT系数的分布规律。DCT变换最主要的一个特点就是图像经过变换后，主要的能量多数集中在低频系数区域，而图像的细节等信息则分布在中高频区域。因此，在压缩传感中，可以采用DCT变换将信号变为稀疏信号，将能量较多的低频系数传输到解码端进行重构。同时，最近的研究还发现，在DCT变换域中，图像纹理特征也呈现一定的分布规律。这使得DCT变换在图像压缩、特征提取、图像分析，稀疏表示中有着重要的应用。015624712381

5、1139101415低频中频高频DC(a)频带分布(b)z形扫描方式图4.2DCT系数的特点(a)频带分布(b)z形扫描方式2.离散余弦变换的特点离散余弦变换的变换核为余弦变换，因其变换核为实数，所以，DCT的计算速度比变换核为复数的DFT要快的多。DCT除了具有一般的正交变换性质外，它的变换阵的基向量能很好的描述人类语音信号，图像信号的相关特征。三、离散沃尔什-哈达玛变换1.离散沃尔什-哈达玛变换的特点WHT是将一个函数变换成取值为＋1或－1的。即是将一个函数变换成取值为＋1或－1的基本函数构成的级数，用它来逼近数字脉冲信号时要比

6、FFT有利。同时，WHT只需要进行实数运算，存储量比FFT要少得多，运算速度也快得多。因此，WHT在图像传输、通信技术和数据压缩中被广泛使用。2.离散沃尔什-哈达玛变换的性质WHT具有能量集中的特性，而且原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此，可用来压缩图像信息。四、K-L变换1.K-L变换的特点K-L变换也常称为主成分变换(PCA)或霍特林变换，是一种基于图像统计特性的变换，它的协方差矩阵除对角线以外的元素都是零，消除了数据之间的相关性，从而在信息压缩方面起着重要作用。K-L变换虽然具有MSE意义下的

7、最佳性能，但需要先知道信源的协方差矩阵并求出特征值。求特征值与特征向量并不是一件容易的事，维数较高时甚至求不出来。即使能借助计算机求解，也很难满足实时处理的要求，而且从编码应用看还需要将这些信息传输给接收端。这些因素造成了K-L变换在工程实践中不能广泛使用。人们一方面继续寻求解特征值与特征向量的快速算法，另一方面则寻找一些虽不是“最佳”、但也有较好的去相关与能量集中的性能且容易实现的一些变换方法。而K-L变换就常常作为对这些变换性能的评价标准。2.K-L变换的性质1）去相关特性。K-L变换是变换后的矢量信号的分量互不相关。2）能量集

8、中性。所谓能量集中性，是指对N维矢量信号进行K-L变换后，最大的方差集中在前M个低次分量之中。3）最佳特性。K-L变换是在均方误差测度下，失真最小的一种变换。4）无快速算法，且变换矩阵随不同的信号样值集合而不同。这是K-L变换的一个缺