四角包及根号二

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1、四角包与根号二四角包是小时候常玩的一种“玩具”，可以两个人玩，也可以多个人玩，还可以在地上画个圈玩。四角包也有大有小，有厚有薄。总之，无论是四角包的样式，还是玩的方法都是多种多样的。但也有一定的规则，比如“单面货”、“两面货”、“笨手的”都不给玩，一张纸叠成的也不给玩。这种简单的玩具不知给多少人的童年带来过极大的乐趣。下面我们讨论它的叠法：用两张普通纸，如图1所示，沿着平行于长边的轴线对折，可得到两条长条形的纸。图1对折后的纸是双层的，叠的过程如图2所示：a．将两纸搭在一起；b—c．沿虚线对折；c—d．沿另一张纸的边缘折上去；e—f．重复b—

2、d；g—h．重复b—d；i—j．重复b—d；j—k．将最后留下的“舌头”插进去；k．叠成后四角包的正面；l．叠成后四角包的背面。如果只有一张纸，也可以将它叠成一个较小的“四角包”4。方法是先沿着平等于短边的轴线将其撕成两张，然后重复上面所说的步骤。如果只有半张纸，还可以将它叠成一个更小的“四角包”。方法还是重复上面的过程。如果有四分之一张纸……如果有八分之一张纸…………这个过程可以无限进行下去吗？实际情况是，如果有一张真实的纸，这个过程在有限次的操作下是可行的。这说明在无限次操作中也很有可能是可行的。下面我们肯定这种可能性，讨论一下纸的形状。

3、这个道理是简单的，只要我们能保证在纸撕开后形状保持不变，这个过程就能无限进行也去。图2abcdefghijkl如图3所示，设纸的长边与短边的长度分别为x和y。保持撕开后的纸的形状与原来相同，则大的矩形与小的矩形相似，有：4图3yx得：这就是说纸的长边与短边的比为。这种纸是满足无限次撕开后形状不变的，根据数学归纳法知，若原来的两张纸可以叠成一个四角包则无论按要求撕多少次都可以叠成较小的四角包。但问题是，原来的纸可以叠成吗？下面我们来解决这个问题。如图4所示，将纸沿平行于长边的轴线对折后搭在一起，设短边的长度为2，则对折后搭在一起的纸的尺寸如图所

4、示（我们假定图中两纸的放置是对称的）。那么，图41a实际上，以叠的过程中，只要就可以使四角包的形状看上去是完整的。而我们计算出来的数比0.5大，这说明长边与短边的比为的纸是可以顺利叠成四角包的。而且在撕开变小的过程中一直可以叠成。真实的纸两边的长度关系是吗？我们可以通过用刻度尺测量两边的长度来验证。4在没有刻度尺的情况下，也可以按照下面的方法简单的验证：图5先将一张纸沿着虚线的方法折起来，由虚线的长度是短边长度的倍。拿另一张相同的纸用长边去和虚线对比，发现大致是等长的，这就验证了我们上面的猜测。纸的长边与短边的比的确是。二○一一年六月十九日傍

5、晚4