随机过程在非平衡态统计物理和系统生物学建模中的应用

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1、附件2论文中英文摘要作者姓名：葛颢论文题目：随机过程在非平衡态统计物理和系统生物学建模中的应用作者简介：葛颢，男，1981年10月出生，2000年9月至2004年7月在北京大学数学科学学院读本科，2004年9月继续在北京大学数学科学学院读研究生，一年后转博，师从钱敏教授攻读博士学位，于2008年7月获博士学位。中文摘要数学，自从诞生的那一刻开始，就和其它学科紧密结合，共同发展，硕果累累。特别是近些年来，随机过程，作为一种在二十世纪发展起来的数学理论，越来越深入的渗透到了诸如物理、化学、生物甚至经济学的领域，具有越来越重要的应用前景。当然，通过这种应用，随机过程理论本身也可以

2、找到新的增长点，出现新的有意义的问题和崭新的思维。本文一方面是把随机过程模型应用到近代非平衡态统计物理中，从定义到性质给出了一套相对完整的数学理论；另一方面是把随机过程模型应用到系统生物学中，详细总结了生物化学系统的随机建模方法，并深入探讨了酵母细胞环布尔网络模型、单分子酶动力学模型以及磷酸化去磷酸化生物开关模型的性质。随机过程理论与统计物理理论的结合可以追述到1905年爱因斯坦基于平衡态热力学理论推导出布朗运动数学模型的时候，但是，有关随机过程的非平衡态热力学统计物理性质的研究却是近三十年左右才真正开始的事情。非平衡态统计物理中的熵产生概念是用来描述该非平衡定态距离平衡态

3、远近的物理量，这和非平衡态统计物理中另一个宏观可逆性的概念相联系。一个宏观不可逆的定态系统必须具有正的熵产生，且非平衡。Nicolis和Prigogine把非平衡系统看作是一个具有正熵产生率的平稳开系统，它和周围的环境交换着物质和能量。Prigogine因为此项著名的工作获得了1977年诺贝尔化学奖。我们可以利用时齐马氏链和扩散过程为基础对非平衡定态和环流建立一个严格的数学模型。非平衡定态的数学理论已经被钱敏等研究了将近三十年。与此同时，物理中的布朗马达现象(也被称作棘轮系统)也得到了物理学家和生物化学家的广泛关注。该现象描述的是在一个具有适当非对称性的系统中，噪声可以引起

4、定向的净粒子流。物理学家习惯于应用非时齐的随机过程来描述这一现象，同样的这一类模型也出现在随机共振的模型中，即描述在一个非线性系统中很弱的周期信号可以被噪声放大的现象。在布朗马达和随机共振的现象中，噪声起到了建设性的作用，但是其模型的非时齐性会在其解的严格数学分析中引起很多困难。以非时齐随机过程为模型来刻画定态附近的涨落以及两个定态之间的转移过程是近些年才开始的事情，对于它的研究还处于初级阶段，有着大量的工作需要做，特别是平衡态热力学及统计物理中有关热力学第一、二定律的表述应该如何推广过来仍然处于一个很朦胧的阶段。在这方面我们做了一系列的研究。我们把前人关于时齐随机过程的非

5、平衡态统计物理工作中的概念和结论推广到非时齐马氏链的情形，并引入了瞬时可逆性和瞬时熵产生率的概念，而且讨论了这二者之间的关系。同时，生灭链或扩散过程的旋转数对应于布朗马达模型中的平均粒子流，我们发现当该生灭马氏链瞬时可逆或周期可逆时，它的旋转数都等于零。因此，在我们的马氏链模型下，布朗马达中的定向粒子流只能在非平衡，也就是不可逆的系统中出现。更进一步，我们还给出了瞬时熵产生率的测度论定义。上世纪九十年代以来，对于远离平衡态的系统，一些描述其统计动力学性质的重要等式被相继发现和研究，这被称为统计物理学最新的重要进展。其中包含Jarzynski所发现的著名的非平衡功关系式，根据

6、该等式就可以利用非平衡物理过程中测量的功来计算两个平衡态之间的Helmholz自由能的差，并且已经在单个DNA分子的实验上得到了证实和应用。其后Hatano和Sasa成功地把Jarzynski等式推广到非平衡定态的情形，这和生物体内的马达蛋白机制更为相关。由于Jarzynski和Hatano-Sasa等式描述的是从一个平衡态过渡到另一个平衡态，或者从一个非平衡定态过渡到另一个非平衡定态的过程，所以就不可能再用平稳时齐的随机过程来作为数学模型了，而必须用非时齐的随机过程来刻画。物理学家是从传统的统计物理角度，利用Hamilton系统的性质推导证明的，其数学理论这十几年来一直还

7、没有人真正来做过。所以，我们以非时齐马氏链和非时齐扩散过程为模型，定义并证明了其中的推广Jarzynski等式，并且还通过把该结论应用到物理学家和化学家的工作上，阐明了它的物理意义，其中包括Jarzynski和Crooks的开创性工作，Hummer和Szabo的工作，Hatano-Sasa等式以及钱纮关于化学计量学系统中Gibbs自由能差的工作。和Jarzynski等式，Hatano-Sasa等式相似，涨落定理(FT)也是最近发展起来的一类远离平衡态系统所满足的重要关系式，其关注的是系统轨道满足和不满足热力学第二定