高阶统计量在随机信号建模中应用

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1、第2章　高阶统计量在随机信号建模中应用§2－1　引　言*建模：根据采集的有限个含有噪声的观测信号找到一个合适的模型与观测值或其统计量相匹配，这就是随机建模。*建模的关键：（1）模型的假设（2）参数的估计*模型*线性模型（1）参数模型：　　　　　其中若;若（2）非参数模型（3）二者关系为有限值模型　　为有限值*建模的目的：由观测值确定系统的的幅度与相位，或17＊用自相关函数建模：系统输入必须为白噪声；系统为最小相位系统。＊用高阶累积量建模输入可为非高斯有色或白色噪声;系统可以是非最小相位系统§2－2

2、　封闭型递推方法――模型建模方法设系统，已知，,。要求满足下列条件：(1)是i.i.d.过程，(非高斯白噪声)且,,是未知数。(2)是高斯噪声（有色或无色），方差未知,且与互相独立。(3)一、与的辨识　　　　　　　　　设，则上式　　　　　　　　　，又，[只能取0]；，[只能取0]设[只能取]17二、封闭型递推方法设　　（归一化）　　　　则递推公式如下：　（＊）　（）　　　　　如果为偶数。则　　　说明：　　17　同理，　　　　　把，，代入＊式右端，　代数化简同理可证式。二、递推方法(1)根据观测值　

3、　　　　　　　　　　　(2)计算，，（根据前面三个公式）。(3)求，　　　　　　　　　　(4)求，，的递推过程　设　　再由＊式及式，得，　　设　　　　　　　　　　　　　　　　　　17再根据＊，式，得，，依此类推。优点：简单。缺点：有累计误差，且较严重。§2－3　公式，模型建模方法二　　设系统单位冲击响应为　　则，称此为公式。　　证明：　　　　设　　　　　　　　　时，　　上式变为　　　　　(I)　　再设　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(II)(I)/(II)，得　　　　　　　　　同理：　　

4、　　　还可得：　　　　　　　　　　＊公式计算方法：(1)观测值　　　　17　　　　　(2)估计：§2－4　切片法　　设是模型冲击响应(IR)根据冲击响应定义：　　　　(*)（此公式今后经常见到。）　　则　　证明：设　　　　　　　(Ⅰ)设　　　将上式代入(I)式，得　　　(Ⅱ)由＊式得()17所以(II)式成为：　　　　　　设，则(Ⅲ)设,则(III)变为：　　　　　　　　　　　只能取　　　　再设，则(III)式变为：　　　　　　　　　只能取　　　　则　　　　讨论：(1)若是模型模型变为：　　　　于

5、是：此公式与公式等价。　　(2)若是模型，求　　　　已知和。§2－5　线性系统中二阶与高阶统计量之间的关系一、的双谱与维谱之间的关系　　　一维对角线切片　　　　　17　　　　　　　　　　　　　　称此为维谱　　　　　　　　证明：变换：　　　　　　　　复卷积定理曲线积分　　设，则(*)，第2章得出的　由此得出17代入＊式，原式得证。二、功率谱与维谱之间的关系设是相关函数变换，且，则　　　　　　　　　　　　　――方程证明:前面提到过(Ⅰ)而　　　　　　　　　　　（第2章讲过）(Ⅱ)将(Ⅱ)式代入(Ⅰ)中

6、，得：　　　　　　　　Δ推广：　　　　　　　　　　　是的变换。Δ时域方程：　设系统为系统　　　　　　　　　　　　则时域方程为：　　　　证明：　　　　　　　两边取反变换：　　　17根据复卷积定理　　　系统　　　　　　Δ推广　　　　三、三阶累计量之间的关系　　　　　　　第2章而来对于系统（过程）　　　设，，则　　　　　　(Ⅰ)　　设，则(Ⅰ)式成为：　　　　　　(Ⅱ)　　设　　　　　　对(Ⅱ)式两边取变换(对取变换)　　　　　　　　　　　　　　　(Ⅲ)(Ⅳ)　(Ⅲ)/(Ⅳ),得：　　　　　　　　　域乘

7、积17时域解：　　　　　时域卷积（此为三阶累积量之间的关系）　　设，，则(Ⅴ)　　　――称此为累积量方程看如何转换：设，根据(Ⅴ)式得：　　　　　　　　　　取0,1，2，表达成矩阵形式：　　　　　　　　用最小二乘法，准确度高，取出的是，符号没了。建议：用方法识别符号。　　　　　§2－6　非最小相位模型建模一、模型假设17设表示一非高斯信号过程，它可以用一个模型来描述：　　　　　　　　　　　　　　　(1)这里，如果，则退化为模型。其中，通常被观测噪声所污染，即观测值为　　　　　　　　　　　假设(1)

8、阶次已知；(2)输入过程是一个不可观测的、零均值i.i.d.非高斯过程，它至少存在一个有限的非零高阶累积量，，。(3)系统是因果的、指数稳定的且可以是非最小相位的，即的根在单位圆内，而的根可以在单位圆内，也可以在单位圆外。(4)观测噪声是一个零均值有色高斯过程，其能谱密度未知，且与相互独立。由于高斯过程的高阶累积量等于零，于是的阶累积量为　　　　　这样，非最小相位信号建模的实质就是怎样由观测值的高阶累积量估计信号模型的参数和参数。二、参数估计　　1.基于高阶累积量的高阶Yule-W