2009届海安、南外、金陵中学高三数学三模试卷(答案)

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1、2009届江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三第三次调研测试(数学)参考答案1．22．∃x∈(0，)，sinx＞x3．04．－25．256．7．58．9．1025010．(3，)11．[，]12．(0，)∪(1，＋∞)13．①②④14．215．解：(1)在△ABC中，由b2＋c2＝a2＋bc，得b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝．在△ABC中，因为0＜A＜π，所以A＝．………………………………………2分又因为sinAsinB＝cos2，所以sinB＝，即sinB＝1＋cosC．①………………………4分在△ABC中，因为A＋B＋C＝π，所以B＝－C

2、．代入①得sin(－C)＝1＋cosC，即cosC＋sinC＝1＋cosC，即sinC－cosC＝1，即sin(C－)＝1．②………………………6分因为0＜C＜π，所以－＜C－＜，所以，由②得C－＝，即C＝．所以B＝－＝．综上，A＝，B＝，C＝．……………………………………………………8分(2)在△ABC中，由于BC边上中线AM的长为，故在△ABM中，由余弦定理得AM2＝c2＋－2c··cos，即7＝c2＋－ac．③…………………10分在△ABC中，由正弦定理得＝＝，即a＝b＝．④…………………12分本答案共9页，这是第9页由③④解得a＝2，b＝2，c＝2．故△ABC的

3、面积S＝absinC＝×2×2×＝．……………………14分16．解(1)设椭圆E的标准方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)．………………2分因为A(1，)，B(－2，)在椭圆E上，所以…………………4分解得m＝，n＝1，满足条件．所以所求椭圆E的标准方程为＋y2＝1．…………………………………………6分(2)由(Ⅰ)知椭圆的短半轴长为1，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝1，故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝1．………………………………………………8分设P(x，y)，则＝(x－2，y)，＝(x，y)，所以·＝x(x－2)＋y2＝x2＋y2－2x＝2x－3

4、．…………………………10分因为(x－2)2＋y2＝1，所以(x－2)2≤1，即－1≤x－2≤1，得1≤x≤3．所以－1≤2x－3≤3，即·的取值范围为[－1，3]．………………………………………………………14分解法二由(1)知椭圆的短半轴长为1，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝1，故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝1．………………………………………………………8分设P(2＋cosθ，sinθ)，θ∈R，则＝(cosθ，sinθ)，＝(2＋cosθ，sinθ)，所以·＝cosθ(2＋cosθ)＋(sinθ)2＝2cosθ＋1．……………………………12分因为－1≤c

5、osθ≤1，所以－1≤2cosθ＋1≤3，即·的取值范围为[－1，3]．……………………………………………………14分评注：(1)中求椭圆E的标准方程时，若设＋＝1(a＞b＞0)，则扣2分．这里需要分类讨论，情况＋＝1(a＞b＞0)不可能．17．证：(1)在图1中，因为∠ABC＝∠BAD＝90°，所以AD∥BC．因为F，G分别是CD，AB的中点，所以FG∥AD∥BC．在图2中，因为FG∥AD，FG∥BC，所以AD∥BC．因为BC＝2AD，E是BC的中点，所以AD＝BE．所以四边形ABED是平行四边形．所以AB∥DE．……………………………………………………3分因为∠GA

6、D＝∠GBC＝90°，FG∥AD，FG∥BC，所以AG⊥FG，且BG⊥FG．本答案共9页，这是第9页因为AG∩BG＝G，且AG，BG⊂平面AGB，所以FG⊥平面AGB．因为AB⊂平面AGB，所以FG⊥AB．所以DE⊥FG．……………………………………………………6分(2)当M在线段BG上，且BM＝2MG时，AM∥平面BDF．………………………8分证明如下：在线段BF上取点N，使BN＝2NF．因为FG是梯形ABCD的中位线，BC＝2AD＝4，所以FG∥AD，且FG＝3．因为BM＝2ME，BN＝2NF，所以MN∥FG，且MN＝FG＝2．所以MNAD．………………………………

7、…………………10分所以四边形MNDA是平行四边形．所以AM∥DN．…………………………………………………12分又因为DN⊂平面BDF，AM平面BDF，所以AM∥平面BDF．……………………………………………14分18．解(1)由题知圆柱的底面半径为2x，半球的半径为3x．设圆柱的高为h(cm)．因为工艺品的体积为34πcm3，所以×π(3x)3＋π(2x)2h＝34π，所以h＝－x，所以工艺品的表面积为S＝×4π(3x)2＋2π(2x)h＋π(3x)2＋2×π(2x)2＝35πx2＋4πx(－x)＝17π(x2＋)．由x＞0且h＝－x＞