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1、第十五讲广义逆的计算及应用一、
2、t
3、Hermite标准形求｛1｝-逆任何矩阵都可由初等变换化为Hermite标准形。设AeC：^，存在满秩矩阵Eniixnim，是EA=B（Hermite标准形），采用置换矩阵P:ehe,，…
4、其它eiEAPA=E—1IrK00XK00pinxn1.求⑴•逆的方法［证明］令XriM_1PrEKN=O>•NLnxmA{1}=P（取阶数合适的M、L）MLE，则IK「IM「IKlrp-lprEE1r00_NL00AXA=E1p-iE1+KNM+KL00Ir+KN(Ir+KN)K00E1IrK00当XeA｛l｝时，由定理可知：似111^=似111^是?^人｛1，2｝
5、的充要条件。IrMNLE,P、E为满秩方阵MLIrNrankX=rankIrMIIrMNL0L-NM=rankA=r-^L-NM=OEKN=O，L=NMnxm二、由满秩分解求广义逆对A进行满秩分解：A=FG,AeC7n，FeC厂，GeC；x,［定理］设AeC「xn,其满秩分解为A=FG,贝IJ(1)G⑴F⑴eA{i}i=l，2,4(2)G(1)F(i)GA{i}i=l，2,3(3)G(1)F+gA{1，2,3},G+F(1)gA{1，2,4}(4)A+=G+F(1，3)=G(1，4)F+(5)A+=G+F+=GH(GGHr1(FHF)-,FH=GH(FHAGHrlFH证明思路：(1)(2)
6、代入相应的Penrose方程即可证之，由(1)(2)=>(3)=>(4)=>(5)三、矩阵方程AXB=D的相容性条件及通解定理1.矩阵方程AXB=D相容(有解)的充要条件：AA(1)DB(,)B=D在相容情况下矩阵方程的通解为：{a(1)DB(i)+¥-A(1)AYBB(1)IY为阶数合适的任意矩阵}［证明］相容性条件的充分性：已知AA(,)DB(I)B=D,显然有解X=A⑴DB")相容性条件的必要性：已知AXB=D有解，设某个解为X,即D=AXB=AA(1)AXBB(I)B=AA"DB(1)B现在证明通解：“通解”有两个含义：(1)解集合中的任何元素为方程的解；(2)方程的任何解均可由集
7、合中的元素表现出来。(1)令X=A(1)DBU)+Y-A(1)AYBB(1),代入AXB=DAXB=D+AYB-A¥B=D集合中的元素为方程的解(2)设X为方程的解，即AXB=D(1)X=A(1)DB⑴+X—A(1)DB(1)=A(1)DB(1)+X—A(1)AXBB对应于集合中Y=X的情况［得证］由上述证明可见：(1)通解中两个A(1)及两个B(1)完全可以不同(2)通解集合中，不同的Y完全可能对应同一个解推论1.线性方程组AX=b有解的充要条件为：AA(1)b=b且通解为{A(,)b+(In-A⑴A)y
8、y为列向量}推论2.A{1}(AXA=A的解)为如下集合：{a(1)aa(1)+y
9、-a(1)ayaa(1)个A(1＞可互不相同)极小范数解在方程有解时，完全可能是具有无穷多个解，实际中常常希望研究其中具有特定性质的解，例如范数最小的解，即极小范数解。引理1.方程AX=bg有解，则必存在唯一的极小范数解(对2•范且该解在R(AH)中。［证明］设x是方程AX=b的解，可将其分解为x=x0+y,其中x0eR(Ah)=N丄(A)4x0丄N(A),yeN(A)lxll卜llxo+y
10、
11、;=(xo+y)H(xo+y)=x0Hx0+yHy=
12、
13、x0
14、
15、J+
16、
17、y
18、
19、J>
20、
21、x0
22、
23、J而Ax=Ax0+Ay=Ax()+0=Ax0=b即：也是方程的解，也就是R(AH)中存在AX=b的解。
24、假设R(Ah)中存在方程AX=b的两个解Xl和x2，即AXl=Ax2=b->AXj一Ax2=O^(Xj-x2)eN(A)同时(x*-x2)eN丄(A)•••(x1-x2)eN(A)nN1(A)={0}X1=X2也就是说在R(AH)中方程AX=b只有唯一的解(若方程有解)/.方程的任何其它解的2-范数均大于x0的2•范数:。是极小范数解［得证］由证明可知，方程AX=1)在只(人11)的解必定是极小范数解。引理2.A{1，4}由如下方程的通解构成XA=A(1，4>A,其中A(1，4>是A的某一个{1，4}-逆。［证明］一方面：上述方程的解一定是A的某一个{1，4}•逆，设X为其解(i)AXA=
25、AA(,4)A=A(iv)XA=A(1’4)A是厄米矩阵另一方面：A的任何{1，4}-逆均满足上述方程，设X是A的{1，4}•逆,A（1’4）是某个给定的{1,4}•逆，X满足（i）（iv）Penrose方程a（i,4）aa（m）axa（=（Au,4）a（xa）h=（xaa（m）a=（XA）H=XA［得证］以上引理说明，对于XeA,XA是个不变量。定理2.设方程Ax=b相容，则X=A（1，4）b是方程的极小范数
