广义逆的计算及应用.doc

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1、第十五讲广义逆的计算及应用一、由Hermite标准形求{1}-逆任何矩阵都可由初等变换化为Hermite标准形。设，存在满秩矩阵，是（Hermite标准形）,采用置换矩阵：1.求{1}-逆的方法（取阶数合适的M、L）[证明]令，则2.{1,2}-逆当时，由定理可知：是的充要条件。，、为满秩方阵一、由满秩分解求广义逆对A进行满秩分解：，，，[定理]设，其满秩分解为，则（1）（2）（3），（4）（5）证明思路：（1）（2）代入相应的Penrose方程即可证之，由（1）（2）（3）（4）（5）二、矩阵方程的相容性条件及通解

2、定理1.矩阵方程相容（有解）的充要条件：在相容情况下矩阵方程的通解为：[证明]相容性条件的充分性：已知，显然有解相容性条件的必要性：已知有解，设某个解为，即现在证明通解：“通解”有两个含义：（1）解集合中的任何元素为方程的解；（2）方程的任何解均可由集合中的元素表现出来。（1）令，代入集合中的元素为方程的解（2）设为方程的解，即对应于集合中的情况。[得证]由上述证明可见：（1）通解中两个及两个完全可以不同。（2）通解集合中，不同的完全可能对应同一个解。推论1.线性方程组有解的充要条件为：且通解为推论2.为如下集合：（

3、四个可互不相同）一、极小范数解在方程有解时，完全可能是具有无穷多个解，实际中常常希望研究其中具有特定性质的解，例如范数最小的解，即极小范数解。引理1.方程若有解，则必存在唯一的极小范数解（对2-范数），且该解在中。[证明]设是方程的解，可将其分解为，其中，而即：也是方程的解，也就是中存在的解。假设中存在方程的两个解和，即同时＝也就是说在中方程只有唯一的解（若方程有解）方程的任何其它解的2-范数均大于的2-范数是极小范数解[得证]由证明可知，方程在的解必定是极小范数解。引理2.由如下方程的通解构成，其中是A的某一个{1

4、,4}-逆。[证明]一方面：上述方程的解一定是A的某一个{1,4}-逆,设X为其解(ⅰ)(ⅳ)是厄米矩阵另一方面：A的任何{1,4}-逆均满足上述方程，设X是A的{1,4}-逆，是某个给定的{1,4}-逆，X满足(ⅰ)(ⅳ)Penrose方程[得证]以上引理说明，对于，是个不变量。定理2.设方程相容，则是方程的极小范数解；反之，若对任意，存在使得成为该方程的极小范数解，则。[证明]先证前半部分。推论1是的解由引理1知，是极小范数解。后半部分：，存在对于任意，均有为的极小范数解，即＝为极小范数解。因为，上式都成立，将依

5、次取为的各列，合起来得由引理2知定理3.设，则该定理的证明可由引理2结合定理1给出。作业：P33423(1)，3(2)