异方差及自相关

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1、七、异方差与自相关一、背景我们讨论如果古典假定中的同方差和无自相关假定不能得到满足，会引起什么样的估计问题呢？另一方面，如何发现问题，也就是发现和检验异方差以及自相关的存在性也是一个重要的方面，这个部分就是就这个问题进行讨论。二、知识要点1、引起异方差的原因及其对参数估计的影响2、异方差的检验（发现异方差）3、异方差问题的解决办法4、引起自相关的原因及其对参数估计的影响5、自相关的检验（发现自相关）6、自相关问题的解决办法（时间序列部分讲解）三、要点细纲1、引起异方差的原因及其对参数估计的影响原因：引起异方差的众多原因中，我们讨论两个主要的原因，一是模型的设定偏误，主要指的是遗

2、漏变量的影响。这样，遗漏的变量就进入了模型的残差项中。当省略的变量与回归方程中的变量有相关关系的时候，不仅会引起内生性问题，还会引起异方差。二是截面数据中总体各单位的差异。后果：异方差对参数估计的影响主要是对参数估计有效性的影响。在存在异方差的情况下，OLS方法得到的参数估计仍然是无偏的，但是已经不具备最小方差性质。一般而言，异方差会引起真实方差的低估，从而夸大参数估计的显著性，即是参数估计的t统计量偏大，使得本应该被接受的原假设被错误的拒绝。2、异方差的检验（1）图示检验法由于异方差通常被认为是由于残差的大小随自变量的大小而变化，因此，可以通过散点图的方式来简单的判断是否存在

3、异方差。具体的做法是，以回归的残差的平方为纵坐标，回归式中的某个解释变量为横坐标，画散点图。如果散点图表现出一定的趋势，则可以判断存在异方差。（2）Goldfeld-Quandt检验Goldfeld-Quandt检验又称为样本分段法、集团法，由Goldfeld和Quandt1965年提出。这种检验的思想是以引起异方差的解释变量的大小为顺序，去掉中间若干个值，从而把整个样本分为两个子样本。用两个子样本分别进行回归，并计算残差平方和。用两个残差平方和构造检验异方差的统计量。Goldfeld-Quandt检验有两个前提条件，一是该检验只应用于大样本（n>30），并且要求满足条件：观测

4、值的数目至少是参数的二倍；二是除了同方差假定不成立以外，要求其他假设都成立，随机项没有自相关并且服从正态分布。Goldfeld-Quandt检验假设检验设定为：H0:具有同方差，H1:具有递增型异方差。具体实施步骤为：①将观测值按照解释变量x的大小顺序排列。②将排在中间部分的c个（约n/4）观测值删去，再将剩余的观测值分成两个部分，每个部分的个数分别为n1、n2。③分别对上述两个部分的观测值进行回归，得到两个部分的回归残差平方和。④构造F统计量，其中k为模型中被估参数个数。在H0成立条件下，⑤判别规则如下，若F£Fa(n2-k,n1-k),接受H0（具有同方差）若F>Fa(n2

5、-k,n1-k),拒绝H0（递增型异方差）注意：①当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。②此法只适用于递增型异方差。（3）Breusch－Pagan/GodfreyLM检验该方法的基本思想是构造残差平方序列与解释变量之间的辅助函数，得到回归平方和ESS，从而判断异方差性存在的显著性。该检验假设异方差的形式为：其中是解释变量构成的向量，当时，模型是同方差的。具体设模型为：表示是某个解释变量或全部。同样，该检验也可以通过一个简单的回归来实现。提出原假设为，具体步骤如下：①构造变量：用OLS方法估计方程中的未知参数，得和（n为样本容量）②以为被解释变量，为解释

6、变量进行回归，并计算回归平方和ESS。构造辅助回归函数③构造LM统计量为：LM＝当有同方差性，且n无限增大时有④对于给定显著性水平，如果，则拒绝原假设，表明模型中存在异方差。为了计算的简便，LM统计量的构造也可以采取如下形式：其中，是关于的观测值矩阵,g是观测值排成的列向量。由于上述统计量的构造过分依赖于残差的正态性假定，因此，Koenker和Bassett对该统计量进行了修正，令则（4）White检验White检验由H.White1980年提出。和Goldfeld-Quandt检验相比，White检验不需要对观测值排序，也不依赖于随机误差项服从正态分布，它是通过一个辅助回归式

7、构造c2统计量进行异方差检验。White检验的提出避免了Breusch-Pagan检验一定要已知随机误差的方差产生的原因且要求随机误差服从正态分布。White检验与Breusch-Pagan检验很相似，但它不需要关于异方差的任何先验知识，只要求在大样本的情况下。White的检验的思想直接来源于其异方差一致估计。当存在异方差时，传统的方差估计式不再是估计量方差的一致估计，而应该使用White一致性估计：。通过检验是不是参数估计方差的一致估计，可以检验是否存在异方差。在实际的应用过程中，可以通过