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1、数学是严谨的艺术,它拒绝一切丑陋和不真。然而,“金无足赤,人无完人”,纵然你是学界泰斗,哪怕你是科坛巨擎,你总会有闪失(俗说:老虎也会打盹),数学家肯定也不例外。我们这儿当然不是议论他们的人品,而是谈谈他们在数学上的偶然失误。常说“瑕不掩瑜”,大师的这些失误丝毫不会影响他们光辉,倒会增加他们的真实与亲切。众所周知:数学结论(命题、定理、公式、......)的给出往往是数学家们深思熟虑、甚至终生不懈的努力使然,而这些结论产生的方法多是由具体的抽象、特例的推广以及不完全归纳所获。因而这其中的失误几乎不可避免。值得一提的是:由于这些失误出自大家之手,因而它们往往更具欺骗性且
2、更难为人们所识破,这一方面是鉴于大师们的权威与声望,一方面是由于结论或貌似无瑕或难以核验或熟视无睹,因而要找到推翻命题的反例是困难和艰涩的。本文试图猎取几例以飨读者。我们的目的是想从中学点做数学的道理和方法,体味数学的魅力与美妙,当然也会令我们从中悟感数学(乃至整个科学)发展的艰难与坎坷,同时更能品鉴数学的严谨与纯真。1.费尔马(P.deFermat)数法国业余数学家费尔马一生有过许多重要数学发现,这些大多都记录在他研读过的书籍空白处,他发现的著名命题如:费尔马小定理:若p是质数,a∈Z,且p不能整除a,则a^（p−1）≡1(modp)。费尔马大定理:若n∈N,且n≥
3、3,则方程xn+yn=zn无非平凡整数解。前者为费尔马本人及后来的学者证得;后者记在他阅读过的丢番图(Diophantus)所著「算术」一书的空白处(1637年,但未给出证明)。四百余年后(1994年),这一结论为美国普林斯顿大学的数学家韦尔斯(A.J.Wiles)经近十年潜心研究所解决,成为上个世纪数学成就中最为耀眼的辉煌、最为美妙的终曲。其中经历的艰辛与磨难令人感叹!由此他也荣获1996年沃尔夫(R.S.L.Wolf)奖。正是这位费尔马,当他验算了Fn=22n+1在n=0,1,2,3,4时分别为:F0=3,F1=5,F2=17,F3=257,F4=65537,发现
4、它们都是质数后便声称:对于任何自然数n,Fn均给出质数。然而,1732年欧拉(L.Euler)指出,当n=5时:F5=225+1=641×6700417已不再是质数。1880年,兰道(Landon)算得:F6=274177×67280421310721亦非质数。1905年莫瑞汉德(J.C.Morehead)和威斯坦(Western)证明F7亦是合数。时至今日,人们在Fn型数中除了费尔马给出的五个质数外,尚未发现其它质数。于是有人(Selfridge)提出猜测:[15]Fn型数中除n=0,1,2,3,4外不会有其它质数。然而此项猜测至今未获证明。下表给出某些Fn型数的资
5、料:[11][16]n值Fn研究进展也许你会说，费马猜想之所以会出错，是因为检验的数太少了的缘故，事实上，有的命题即使你一辈子不吃不喝也不能验算完。1644年法国神父、业余数学家梅森在「物理学与数学的深思」一书中宣称:当p=2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257时,2p−1是质数(下记Mp=2p−1,且称之为梅森数,其中的质数称梅森质数)。由于梅森本人仅仅验算了其中的前7个,而后面的一些因其太大而不便核验,但人们似乎对此笃信不二。1903年美国哥伦比亚大学的科尔(F.N.Cole)在纽约的一次科学报告会上,做了一次无声的发言,他只是在黑板上写到:
6、267−1=147573952589676412927=193707721×761838257287.之后便赢得全场一片经久的掌声。显然,他否定了梅森数表中p=67时267−1是质数的猜测。1911年,鲍威尔(R.E.Power)又发现M89是质数(梅森数表中漏掉了)。1922年,克莱希克(M.Kraitchik)指出M257亦不是质数(他的证明是非构造性的,尽管他当时并未找出该数的哪怕任一个质因子)。这正像波兰数学家斯坦因豪斯(H.D.Steinhaus)在其名著「数学一瞥」中记述的(20世纪50年代):七十八位数2257−1=2315841784746323908
7、47141970017375815706539969331281128078915168015826259279871是合数,可以证明它有因子,尽管人们尚未找到它。它的因子直到1984年才由美国桑迪亚(Sandia)国家实验室的科学家找到。此后人们寻找梅森质数的工作一直未曾间断,到2001年11月止,人们共找到39个梅森质数Mp,这些p值分别是:2、3、5、7、13、17、19、31、61、89、107、127、521、607、1279、2203、2281、3217、4253、4423、9689、9941、11213、19937、21701、2320
