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《奥数第八讲 根式和其运算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/)第八讲根式及其运算 二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析． 二次根式的性质： 二次根式的运算法则： 设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅 当两个含有二
2、次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式． 例1化简： 教师之家-免费中小学教学资源下载网(http://www.teacher910.com/)教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/) 法是配方去掉根号，所以 因为x-2＜0，1-x＜0，所以 原式=2-x+x-1=1． ＝a-b-a+b-a+b=b-a． 说明若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的
3、范围内进行化简． 例2化简： 分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简． 教师之家-免费中小学教学资源下载网(http://www.teacher910.com/)教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/) 解法1配方法． 配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则 解法2待定系数法． 教师之家-免
4、费中小学教学资源下载网(http://www.teacher910.com/)教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/) 例4化简： (2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简． 分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成 解设 两边平方得 教师之家-免费中小学教学资源下载网(http://www.teacher910.com/)教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.co
5、m/) ②×③×④得 (xyz)2=5×7×35=352． 因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以xyz=35．⑤ ⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以 解设原式=x，则 解法1利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解． 将方程左端因式分解有 (x-4)(x2＋4x＋10)＝0．教师之家-免费中小学教学资源下载网(http://www.teacher910.com/)教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实
6、录(http://www.sp910.com/) 因为 x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0， 所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4． 解法2 说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法． 例8化简： 解(1) 教师之家-免费中小学教学资源下载网(http://www.teacher910.com/)教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/) 本小题也可用换元法来化简．
7、 解用换元法． 解直接代入较繁，观察x，y的特征有 所以 3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy ＝3(x＋y)2-11xy ＝3×102-11×1＝289． 例11求 教师之家-免费中小学教学资源下载网(http://www.teacher910.com/)教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/) 分析本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算． 解设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)
8、，及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a2-b2，所以 A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1 ＝(22-1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)＋1 ＝(24-1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)…(2256＋1)＋1 ＝…＝(2256-1
