奥数：第八讲时钟问题

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1、第八讲时钟问题　　时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题.钟面的一周分为60格.也存在着不少的学问.这里列出一个基本公式：在初始时刻需追赶的格数÷格数。例1现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？　　分析3点时分针指12，时针指3.分针在时针后5×3＝15（个）格.　　　　例2在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？　　分析分两种情况进行讨论。　　①在顺时针方向上分针与时针成270°角：　　在顺时针方向上当分针与时针成270°时，分针落后时针60×（270÷360）=45（个）格，而在10点整时分针落后时针5×10=50（个）格.因此，在这段时间内，分针要比时

2、针多走50-45=5（个）格，而每分钟分针　　②在顺时针方向上分针与时针成90°角：　　在顺时针方向上当分针与时针成90°角时，分针落后时针60×（90÷360）=15（个）格，而在10点整时分针落后时针5×10=50（个）格，因此在这段时间内，分针要比时针多走50-15=35（个）格，所以到达这一时　　解：①在顺时针方向上当分针与时针成270°角时：　　　　②在顺时针方向上当分针与时针成90°角时：　　　　例3在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？　　分析分两种情况进行讨论。　　①分针与时针的夹角为180°角：　　当分针与时针的夹角为180°角时，分针落后时针

3、60×（180÷360）=30（个）格，而在9点整时，分针落后时针5×9=45（个）格.因此，在这段时间内分针要比时针多走45-30=15（个）格，而每分钟分针比时针多走（分钟）。　　②分针与时针的夹角为0°，即分针与时针重合：　　9点整时，分针落后时针5×9=45（个）格，而当分针与时针重合时，分针要比时针多走45个格，因此到达这一时刻所用的时间为：45÷(1-　　解：①当分针与时针的夹角为180°角时：　　　　②当分针与时针的夹角为0°即分针与时针重合时：　　　　例4小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针正好成一条直线，解完题时两针正好重合，小明解题的起始时间？小

4、明解题共用了多少时间？　　分析要求小明解题共用了多少时间，必须先求出小明解题开始时是什么时刻，解完题时是什么时刻。　　①小明开始解题时的时刻：　　因为小明开始解题时，分针与时针正好成一条直线，也就是分针与时针的夹角为180°，此时分针落后时针60×（180÷360）=30（个）格，而7点整时分针落后时针5×7＝35（个）格，因此在这段时间内分针要比时　　②小明解题结束时的时刻：　　因为小明解题结束时，两针正好重合，那么从7点整到这一时刻分针要　　这样小明解题所用的时间就可以求出来了。　　解：先求小明开始解题的时刻：　　　　再求小明结束解题的时刻：　　　　最后求小明解题所用的时间

5、：　　　　例5一只钟的时针与分针均指在4与6之间，且钟面上的“5”字恰好在时针与分针的正中央，问这时是什么时刻？　　分析由于现在可以是4点多，也可以是5点多，所以分两种情况进行讨论：　　①先设此时是4点多：　　4点整时，时针指4，分针指12.从4点整到现在“5在时针与分针的正中央”，分针走的格数多于25，少于30，时针走不足5格.由于5到分针的格数等于5到时针的格数，所以时针与分针在这段时间内共走30格.又由于　　　　　　②再设此时是5点多：　　5点整时，时针指5，分针指12.从5点整到现在“5在时针与分针的正中央”，分针走的格数多于20格少于25格，时针走的格数不足5格，由于

6、5到分针的格数等于5到时针的格数，所以时针与分针在这段时间内共走25格.因此，从5点整到上页图（b）钟面上　　　　　　解：①如果此时是4点多，则从4点整到上页图（a）钟面上这种状态　　　　②如果此时是5点多，则从5点整到上页图（b）钟面上这种状态共用：　　　　例6一只旧钟的分钟和时针每65分钟（标准时间的65分钟）重合一次.问这只旧钟一天（标准时间24小时）慢或快几分钟？　　分钟重合一次，显然旧钟快.本题的难点在于从旧钟两针的重合所耗用的65标准分钟推算出旧钟时针或分针的旋转速度（每标准分钟旋转多少格），进而推算出旧钟的针24标准小时旋转多少格，它与标准钟的针用24标准小时所走

7、的格数的差就是旧钟钟面上显示的比标准钟快的时间读数。　　　　单位表示：旧钟分针速度为x（格/标准分）.旧钟分针走60格时针走5格，　　耗用65标准分钟，而且两次重合之间分针赶超了时针　　　　标准时间一天有60×24=1440标准分，一天内旧钟分针走的格数为：　　标准分钟数.并非标准的分钟数。　　解：设这只旧钟的分针用标准时间1分钟走x格，则旧钟的时针速度为　　根据旧钟的时针与分针每重合一次耗用65标准分钟，列方程得：60÷　　　　标准时间一天有60×24标准分，标准时间一天内旧钟分针走的格数