奥数:第八讲时钟问题

奥数:第八讲时钟问题

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1、第八讲时钟问题  时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题.钟面的一周分为60格.也存在着不少的学问.这里列出一个基本公式:在初始时刻需追赶的格数÷格数。例1现在是3点,什么时候时针与分针第一次重合?  分析3点时分针指12,时针指3.分针在时针后5×3=15(个)格.    例2在10点与11点之间,钟面上时针和分针在什么时刻垂直?  分析分两种情况进行讨论。  ①在顺时针方向上分针与时针成270°角:  在顺时针方向上当分针与时针成270°时,分针落后时针60×(270÷360)=45(个)格,而在10点整时分针落后时针5×10=50(个)格.因此,在这段时间内,分针要比时

2、针多走50-45=5(个)格,而每分钟分针  ②在顺时针方向上分针与时针成90°角:  在顺时针方向上当分针与时针成90°角时,分针落后时针60×(90÷360)=15(个)格,而在10点整时分针落后时针5×10=50(个)格,因此在这段时间内,分针要比时针多走50-15=35(个)格,所以到达这一时  解:①在顺时针方向上当分针与时针成270°角时:    ②在顺时针方向上当分针与时针成90°角时:    例3在9点与10点之间的什么时刻,分针与时针在一条直线上?  分析分两种情况进行讨论。  ①分针与时针的夹角为180°角:  当分针与时针的夹角为180°角时,分针落后时针

3、60×(180÷360)=30(个)格,而在9点整时,分针落后时针5×9=45(个)格.因此,在这段时间内分针要比时针多走45-30=15(个)格,而每分钟分针比时针多走(分钟)。  ②分针与时针的夹角为0°,即分针与时针重合:  9点整时,分针落后时针5×9=45(个)格,而当分针与时针重合时,分针要比时针多走45个格,因此到达这一时刻所用的时间为:45÷(1-  解:①当分针与时针的夹角为180°角时:    ②当分针与时针的夹角为0°即分针与时针重合时:    例4小明在7点与8点之间解了一道题,开始时分针与时针正好成一条直线,解完题时两针正好重合,小明解题的起始时间?小

4、明解题共用了多少时间?  分析要求小明解题共用了多少时间,必须先求出小明解题开始时是什么时刻,解完题时是什么时刻。  ①小明开始解题时的时刻:  因为小明开始解题时,分针与时针正好成一条直线,也就是分针与时针的夹角为180°,此时分针落后时针60×(180÷360)=30(个)格,而7点整时分针落后时针5×7=35(个)格,因此在这段时间内分针要比时  ②小明解题结束时的时刻:  因为小明解题结束时,两针正好重合,那么从7点整到这一时刻分针要  这样小明解题所用的时间就可以求出来了。  解:先求小明开始解题的时刻:    再求小明结束解题的时刻:    最后求小明解题所用的时间

5、:    例5一只钟的时针与分针均指在4与6之间,且钟面上的“5”字恰好在时针与分针的正中央,问这时是什么时刻?  分析由于现在可以是4点多,也可以是5点多,所以分两种情况进行讨论:  ①先设此时是4点多:  4点整时,时针指4,分针指12.从4点整到现在“5在时针与分针的正中央”,分针走的格数多于25,少于30,时针走不足5格.由于5到分针的格数等于5到时针的格数,所以时针与分针在这段时间内共走30格.又由于      ②再设此时是5点多:  5点整时,时针指5,分针指12.从5点整到现在“5在时针与分针的正中央”,分针走的格数多于20格少于25格,时针走的格数不足5格,由于

6、5到分针的格数等于5到时针的格数,所以时针与分针在这段时间内共走25格.因此,从5点整到上页图(b)钟面上      解:①如果此时是4点多,则从4点整到上页图(a)钟面上这种状态    ②如果此时是5点多,则从5点整到上页图(b)钟面上这种状态共用:    例6一只旧钟的分钟和时针每65分钟(标准时间的65分钟)重合一次.问这只旧钟一天(标准时间24小时)慢或快几分钟?  分钟重合一次,显然旧钟快.本题的难点在于从旧钟两针的重合所耗用的65标准分钟推算出旧钟时针或分针的旋转速度(每标准分钟旋转多少格),进而推算出旧钟的针24标准小时旋转多少格,它与标准钟的针用24标准小时所走

7、的格数的差就是旧钟钟面上显示的比标准钟快的时间读数。    单位表示:旧钟分针速度为x(格/标准分).旧钟分针走60格时针走5格,  耗用65标准分钟,而且两次重合之间分针赶超了时针    标准时间一天有60×24=1440标准分,一天内旧钟分针走的格数为:  标准分钟数.并非标准的分钟数。  解:设这只旧钟的分针用标准时间1分钟走x格,则旧钟的时针速度为  根据旧钟的时针与分针每重合一次耗用65标准分钟,列方程得:60÷    标准时间一天有60×24标准分,标准时间一天内旧钟分针走的格数

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