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时间:2019-01-04
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1、第八讲数学游戏 我们在进行竞赛与竞争时,往往要认真分析情况,制定出好的方案,使自己获胜,这种方案就是对策.在小学数学竞赛中,常有与智力游戏相结合而提出的一些简单的对策问题,它所涉及的数学知识都比较简单.但这类题的解答对我们的智力将是一种很有益的锻炼.例1甲、乙二人轮流报数,必须报不大于6的自然数,把两人报出的数依次加起来,谁报数后加起来的数是2000,谁就获胜.如果甲要取胜,是先报还是后报?报几?以后怎样报?分析采用倒推法(倒推法是解决这类问题一种常用的数学方法).由于每次报的数是1~6的自然数,2000-1=1999,2000-6=1994,甲要获胜,必须使乙最后一次报数加起来的和的范
2、围是1994~1999,由于1994-1=1993(或1999-6=1993),因此,甲倒数第二次报数后加起来的和必须是1993.同样,由于1993-1=1992,1993-6=1987,所以要使乙倒数第二次报数后加起来的和的范围是1987~1992,甲倒数第三次报数后加起来的和必须是1986.同样,由于1986-1=1985,1986-6=1980,所以要使乙倒数第三次报数后加起来的和的范围是1980~1985,甲倒数第四次报数后加起来的和必须是1979,…. 把甲报完数后加起来必须得到的和从后往前进行排列:2000、1993、1986、1979、….观察这一数列,发现这是一等差数列,
3、且公差d=7,这些数被7除都余5.因此这一数列的最后三项为:19、12、5.所以甲要获胜,必须先报,报5.因为12-5=7,所以以后乙报几,甲就报7减几,例如乙报3,甲就接着报4(=7-3).解:①甲要获胜必须先报,甲先报5; ②以后,乙报几甲就接着报7减几. 这样甲就能一定获胜.例2有1994个球,甲乙两人用这些球进行取球比赛.比赛的规则是:甲乙轮流取球,每人每次取1个,2个或3个,取最后一个球的人为失败者. ①甲先取,甲为了取胜,他应采取怎样的策略? ②乙先拿了3个球,甲为了必胜,应当采取怎样的策略?分析为了叙述方便,把这1994个球编上号,分别为1~1994号.取球时先取序号
4、小的球,后取序号大的球.还是采用倒推法.甲为了取胜,必须把1994号球留给对方,因此甲在最后一次取球时,必须使他自己取到球中序号最大的一个是1993(也许他取的球不止一个).为了保证能做到这一点,就必须使乙最后第二次所取的球的序号为1990(=1993-3)~1992(=1993-1).因此,甲在最后第二次取球时,必须使他自己所取的球中序号最大的一个是1989.为了保证能做到这一点,就必须使乙最后第三次所取球的序号为1986(=1989-3)~1988(=1989-1).因此,甲在最后第三次取球时,必须使他自己取球中序号最大的一个是1985,…. 把甲每次所取的球中的最大序号倒着排列起来
5、:1993、1989、1985、….观察这一数列,发现这是一等差数列,公差d=4,且这些数被4除都余1.因此甲第一次取球时应取1号球.然后乙取a个球,因为a+(4-a)=4,所以为了确保甲从一个被4除余1的数到达下一个被4除余1的数,甲就应取4-a个球.这样就能保证甲必胜. 由上面的分析知,甲为了获胜,必须取到那些序号为被4除余1的球.现在乙先拿了3个,甲就应拿5-3=2个球,以后乙取a个球,甲就取4-a个球.解:①甲为了获胜,甲应先取1个球,以后乙取a个球,甲就取4-a个球. ②乙先拿了3个球,甲为了必胜,甲应拿2个球,以后乙取a个球,甲就取4-a个球.例3甲、乙两人轮流往一张圆桌面
6、上放同样大小的硬币,规定每人每次只能放一枚,硬币平放且不能有重叠部分,放好的硬币不再移动.谁放了最后一枚,使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候就赢了.说明放第一枚硬币的甲百战百胜的策略.分析采用“对称”思想. 设想圆桌面只有一枚硬币那么大,当然甲一定获胜.对于一般的较大的圆桌面,由于圆是中心对称的,甲可以先把硬币放在桌面中心,然后,乙在某个位置放一枚硬币,甲就在与之中心对称的位置放一枚硬币.按此方法,只要乙能找到位置放一枚硬币,根据圆的中心对称性,甲定能找到与这一位置中心对称的地方放上一枚硬币.由于圆桌面的面积是有限的,最后,乙找不到放硬币的地方,于是甲获胜.解:(略).例4把一棋子
7、放在如右图左下角格内,双方轮流移动棋子(只能向右、向上或向右上移),一次可向一个方向移动任意多格.谁把棋子走进顶格,夺取红旗,谁就获胜.问应如何取胜?分析采用倒推法.由于只能向右、向上或向右上移,要把棋子走进顶格,应让对方最后一次把棋子走到最右边一列的格中,为了保证能做到这一点,倒数第二次应让棋子走进右图中的A格中.(对方从A格出发,只能向右或向上移至最后一列的格中)所以要获胜,应先占据A格.同理可知,每次都占据A~E这
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