资源描述：
《概率论与数理统计 7.1 点估计与最大似然估计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第七章、参数估计7.1、点估计与最大似然估计7.2、估计量的评选标准7.3、区间估计17.1点估计与最大似然估计1、点估计的概念2、矩估计法3、最大似然估计法2在实际问题中，X的分布形式往往是已知的，但分布中含有一个或几个未知的参数。问题是如何利用总体的一个样本(X1,X2,…,Xn)给出参数的一个估计值，这就是所谓的参数的点估计问题。先复习一个有关的概念：矩引言3总体矩样本矩E(X)=E(X¹)=μ1称为一阶总体原点矩，E(X²)=μ2称二阶总体原点矩，···E(Xk)=μk称为k阶总体原点矩。同
2、样地，D(X)=E(X-E(X))²称为二阶总体中心矩，···，E(X-E(X))k称为k阶总体中心矩。类似地，有k阶样本原点矩，4样本k阶中心矩：5一、点估计的概念:1、定义7.1:设总体X的分布函数为F(x,θ),其中θ为未知参数.从总体X中抽取样本X1,X2,…,Xn,其观测值为x1,x2,…,xn.6估计量和估计值统称为点估计.7二、矩估计法:1、矩估计法:因很多分布中总体的数学期望与方差均是分布中的参数或是参数的某个函数,于是就设想令样本矩与总体矩相等,再利用总体矩与参数之间的关系,导出参
3、数的一个点估计的方法,称为矩估计法.即用样本矩替代同阶的总体矩。具体来讲用892、矩估计法解题的主要步骤:10解方程组即得11未知.X1,X2,…,Xn是来自X的样本,例1：设总体X在[a,b]上服从均匀分布,a,b解本分布中含有两个未知参数,故令求a,b的矩估计量.12由于X在[a,b]上服从均匀分布,所以13解方程组,得14例2、设有一批同型号的灯管，其寿命（单位：h）服从参数为λ的指数分布，今随机抽取其中11只，测得其寿命数据如下：110,184,145,122,165,143,78,129,
4、62,130,168(1)用矩估计法估计λ的值；(2)求总体的平均寿命解：(1)、15三、最大似然估计:1、设总体X为连续型随机变量，其密度函数为f(x,θ)求（1）：样本的联合密度；（2）：θ的估计值。（2）根据经验一次试验中概率大的事件比概率小的事件容易发生。在已经得到试验结果的情况下，应该寻求使这个结果出现的可能性最大的估计值作为总体参数的估计值。16利用微积分中求极值的思想，只要令这种点估计的方法称为最大似然法。X为离散型时类似。17例3、现有一批产品,设p是产品的次品率,现估计p的值.为此
5、作放回抽样,共10次.若10次试验的结果是样本观测值(x1,x2,…,xn)=(1,0,1,0,0,0,1,0,0,0),18则有最大似然法的基本思想是在已经得到试验结果的情况下,寻找使这个结果出现的可能性最大的值作为真p的估计.于是19设(X1,X2,…,Xn)为来自总体X的样本,1、若X为离散型随机变量,其分布律为X的分布类型已知,参数θ未知.则样本(X1,X2,…,Xn)的分布为称L(θ)为似然函数,选择θ使L(θ)达到最大值的θ值作为真θ的估计.202、若X为连续型随机变量,(X1,X2,…
6、,Xn)的密度函数为称L(θ)为似然函数,选择θ使L(θ)达到最大值的θ值作为真θ的估计.其密度函数为f(x;θ),则样本这种点估计的方法称为最大似然法.21例4、设总体X～B(m,p),X1,X2,…,Xn是X的一个样本,求p的极大似然估计.解由于X～B(m,p),有作似然函数2223例5、设总体X～N(μ,σ2),获得样本X1,X2,…,Xn,求μ及σ2的极大似然估计.解由于总体X～N(μ,σ2),作似然函数为24将似然函数关于μ及σ2求偏导,得25故μ及σ2的极大似然估计值估计值.26其中θ>
7、-1是未知参数，分别用矩估计法和最大似然估计法求的估计量27最大似然法：似然函数为：2829
