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1、图像处理第4章图像变换4.1图像Radon变换4.2Hadamard变换4.3离散余弦变换4.4图像傅里叶变换4.5图像小波变换4.6其他图像变换4.1图像Radon变换X射线计算机层析摄影仪—即CT扫描仪，它的问世是二十世纪医学中的奇迹，其原理是基于不同的物质有不同的X射线衰减系数。如果能够确定人体的衰减系数的分布，就能重建其断层或三维图像。但通过X射线透视时，只能测量到人体的直线上的X射线衰减系数的平均值（是一积分）。当直线变化时，此平均值（依赖于某参数）也随之变化，能否通过此平均值以求出整个衰减系数的分布呢？人们利用数学中的拉东变换解决了此问题，拉东变换已成为CT理论的
2、核心。首创CT理论的A.M.Cormark（美）及第一台CT制作者C.N.Hounsfield（英）因而荣获1979年诺贝尔医学和生理学奖。图像Radon变换的基本原理二维函数f(x,y)的投影是其在确定方向上的线积分。例如f(x,y)在垂直方向上的二维线积分为f(x,y)在X轴上的投影。例如f(x,y)在水平方向上的二维线积分为f(x,y)在Y轴上的投影。图像Radon变换的基本原理（绪1）可以在任意角度θ计算函数的投影，即任意角度上都存在函数Radon变换，图像f(x,y)在任意一个角度θ上的Radon变换的投影定义为：图像Radon变换的基本原理（绪2）Radon变换：
3、指将计算图像上的变换为在某一种指定角度射线方向上投影的变换方法。下图为Radon变换的几何关系示意图。图像Radon变换应用Matlab中提供了函数radon用来完成图像Radon变换，该变换实质上是计算指定方向上图像矩阵的投影。R=radon(I,theta):计算图像I在theta矢量指定的方向上的Radon变换。[R,xp]=radon(…):R的各行返回theta各方向上Randon变换值，xp矢量表示沿X轴相应的坐标值。图像I的中心在floor((size(I)+1)/2),在x轴上对应为0。例4-1】图像Radon变换。设计下面程序进行图像的Radon变换。A=i
4、mread('D:hehua.jpg');[C,x1]=radon(A,0);[D,x2]=radon(A,30);subplot(1,3,1);imshow(A)subplot(1,3,2);plot(x1,C)subplot(1,3,3);plot(x2,D)(a)被变换的图像A(b)0度方向投影(c)30度方向投影读入图像，然后调用radon函数，变换后绘制出图4-1(a)-(c)所示图形。可以看到图像变换后得到的是一个线图，也就是说Radon变换后变成了一维数组。变换的基本原理是在指定方向进行灰度投影计算。以图像中心作为原点，向水平方向投影，在区间[-1500150
5、0]上有颜色值（白色为1，黑色为0），颜色值和在9*104左右，如图图4-1(b)所示。以图像中心作为原点，向与水平成30度角的方向投影，在稍大一些的区间上有颜色值，颜色值投影相加的情况显示在图4-1(c)中。(a)被变换的图像A(b)0度方向投影(c)30度方向投影函数IradonMatlab也提供了函数iradon用来进行逆Radon变换。例题4-2先利用radon函数计算一组旋转角度下的Radon变换R，R是二维数组，记载着对应于每个角度的变换后的数据。然后利用R及旋转角度，使用函数iradon重建图像。【例4-2】利用逆Radon变换复原图像。设计如下程序B=imre
6、ad('D:heye.jpg');T=0:10:180;[C,x]=radon(B,T);D=iradon(C,T);subplot(1,3,1);imshow(B)subplot(1,3,2);imagesc(T,x,C)subplot(1,3,3);image(D)(a)原图像(b)变换曲线集合(c)复原图像图4-2图像逆radon变换复原图像(1)程序中语句T=0:10:180定义了一个向量T，共有19个元素。调用函数语句[C,x]=radon(B,T)中，如果角度T是一个向量，那么[C,x]中的C就是一个二维数组，用来表示多条变换后的曲线。多条变换后的曲线绘制在一起
7、，形成图4-2(b)所示图形，横轴表示180度，纵轴表示每条曲线的高度。从图4-2可以看出复原的结果与原图有些差别，这是由于在Radon变换的过程中损失了一些数据等原因造成的。4.2Hadamard变换Hadamard变换与Radon变换有着本质的区别。Hadamard变换，等价于把原图像矩阵左右分别乘以一个矩阵。这两个矩阵都是正交矩阵，称为Hadamard变换矩阵。Hadamard变换矩阵元素都是1或-1，为正交矩阵。4.2Hadamard变换Matlab没有提供图像Hadamard变换功能，不过提供
