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1、§9.6双曲线一、选择题1．已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．4＋2B.－1C.D.＋1解析 (数形结合法)因为MF1的中点P在双曲线上，
2、PF2
3、－
4、PF1
5、＝2a，△MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以c－c＝2a，所以e＝＝＝＋1，故选D.答案 D2.已知双曲线C：-=1的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 A3
6、．设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )．A．4B．3C．2D．1解析 双曲线－＝1的渐近线方程为3x±ay＝0与已知方程比较系数得a＝2.答案 C4．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，
7、AB
8、为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )．A.B.C．2D．3解析 设双曲线C的方程为－＝1，焦点F(－c,0)，将x＝－c代入－＝1可得y2＝，所以
9、AB
10、＝2×＝2×2a，∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝＝.答案 B5
11、．设F1、F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，·的值为( )A．2B．3C．4D．6解析设点P(x0，y0)，依题意得，
12、F1F2
13、＝2＝4，S△PF1F2＝
14、F1F2
15、×
16、y0
17、＝2
18、y0
19、＝2，
20、y0
21、＝1，－y＝1，x＝3(y＋1)＝6，·＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x＋y－4＝3.答案B6．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1
22、)，则双曲线的焦距为( )．A．2B．2C．4D．4解析 由题意得⇒⇒c＝＝.∴双曲线的焦距2c＝2.答案 B7．如图，已知点P为双曲线－＝1右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则λ的值为( )A.B.C.D.解析根据S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2，即
23、PF1
24、＝
25、PF2
26、＋λ
27、F1F2
28、，即2a＝λ2c，即λ＝＝.答案B二、填空题8．双曲线－＝1的右焦点到渐近线的距离是________．解析由题意得
29、：双曲线－＝1的渐近线为y＝±x.∴焦点(3,0)到直线y＝±x的距离为＝.答案9．已知双曲线－＝1左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为________．解析根据已知
30、PF1
31、＝且
32、PF2
33、＝，故－＝2a，所以＝2，＝.答案y＝±x 10.已知双曲线的两条渐近线均和圆:相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为____________．c=3,所以b=2,即,所以该双曲线的方程为.答案11．如图，已知双曲线以长方形
34、ABCD的顶点A、B为左、右焦点，且双曲线过C、D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析 设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，∴解得∴双曲线的标准方程为x2－＝1.答案 x2－＝112．已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．解析 根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a，b的等式，即－＝1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c的等式，2c＝4，即c＝2.
35、再有双曲线自身的一个等式a2＋b2＝c2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a＝1，b＝，c＝2，所以，离心率e＝2.答案 2三、解答题13．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程．解析设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：两式作差得：＝＝＝，又AB的斜率是＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5.所以双曲
36、线的标准方程是－＝1.14．求适合下列条件的双曲线方程．(1)焦点在y轴上，且过点(3，－4)、.(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且双曲线经过点P(，2)．解析 (1)设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则因为点(3，－4)，在双曲线上，所以点的坐标满足方程，由此得令m＝，n＝，则方程组化为解方程组得∴a2＝16，b2＝9.所求双曲线方程为－＝1.(2)由双曲线的渐近线方程y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ
