统计学--第九章直线回归与相关

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1、第九章直线回归与相关LinearRegressionandcorrelation第一节直线回归一、概述1、函数关系与回归关系函数关系：自变量取某一数值时，应变量有一个完全确定的数值与之对应。（多见于物理、化学等学科，生物医学界不少变量间有一定的关系，但不是十分明确）回归关系：应变量随自变量的变化而变化，且呈直线趋势，但并非所有的点子都在一直线上。直线回归分析的任务：找出一条最能代表这些数据关系的一条直线。方法：一般采用最小二乘法leastsquaremethod找出一条各实测点与它的纵向距离的平方和为最小的直线回归方程。又称作最小二乘回归变量y

2、随变量x而变化，称x为自变量independentvariable，y为应变量dependentvariable.2、直线回归方程直线方程：y=a+bx直线回归方程：a：为回归直线在Y轴上的截距intercept，a>0表示直线与纵轴的交点在原点的上方，a<0交点在原点的下方。a=0则回归直线通过原点b：回归系数regressioncoefficient，为直线的斜率slope，b>o直线从左下走向右上,b<0从左上走向右下,b=0直线与横轴平行。意义：x每增(减)一单位，Y平均改变b个单位3、最小二乘法样本含量为n的的样本资料标在(x,y)平

3、面上，可得n个点，故可确定很多直线，直线回归的主要目标之一是用实测的x估计y，所以希望估计的y与实测的y间的误差愈小愈好。即从所有直线中找到一条直线使估计误差平方和达最小。即最小二、求直线回归方程的基本方法P110例9－1：1)由原始数据绘散点图，各点分布呈直线趋势，故作下列计算2)求x,y,x2,y2,xy3)计算x,y的均数，lxx、lyy和lxy4)求回归系数b和截距a5)列出回归方程6)直线回归方程图示：在自变量x的实测全距范围内任取相距较远且易读的两x值，代入回归方程求y的估计值，在图绘出两点连成直线。注意：所绘直线必然通过

4、，若纵坐标、横坐标无折断号时，将此直线左端延长与纵轴相交，交点的纵坐标必然等于截距a，这两点可用来核对回归线绘制是否正确。第二节直线回归分析中误差及可信区间一、标准估计误差估计误差errorofestimate：在直线回归中，各实际值y与由回归方程计算出的估计值之间有一定的误差，称～。这种离差可以用类似标准差的式子进行计算，称为标准估计误差standarderrorofestimate。由于决定于均数和回归系数，所以自由度为n-2lyy的分析:p点的纵坐标被回归线、均数y截成三段SS总＝SS回＋SS剩YXPy-y^y-y^-y-yy各实测点离回

5、归直线越近，剩余平方和愈小，说明直线回归的估计误差愈小总＝回＋剩总＝n－1，回＝1，剩＝n－2二、实测值围绕回归线的离散度回归分析时假设：X取某一值时，Y围绕回归线＋x呈正态分布，Sy.x是其标准差的估计值。故可估计出约有95％观测值y在总体回归线y=＋x上下1.96个标准估计误差范围内，见P112图9－3三、回归系数的标准误表示：样本回归系数b对总体回归系数进行估计时误差的大小求的95％可信区间bt0.05()Sb，自由度=n-2四、的标准误y的标准误本应由Sy/n求得，但因在直线回归当中x的影响被扣除后，y方

6、面的变异减小，故y的标准误，即x=x时y^的标准误为五、的可信区间是总体均数的估计值95％可信区间：六、的标准误当xix时，的变异不仅决定于y的误差，也与回归系数b的误差有关七、(个体y值)的可信区间理论上，每个xi对应的y估计值都有一个区间估计，把这些可信区间的上限和下限连起来，为两条曲线。把这两条曲线间的空间称为回归直线的可信区间。八、截距的误差及总体参数的可信区间由于截距是x=0时y的估计值，九、单一个体yi值的范围预测第三节回归系数和截距的统计意义检验一、回归系数的t检验二、回归系数的方差分析所得结论与t检验相同三、两个回归系

7、数差别的统计意义检验P119,例9-3四、截距的统计意义检验检验a是否是从总体截距为0的总体中抽样得到t=a/Sa自由度为n-2五、两条回归线高度差别的统计意义检验当两条回归线的回归系数的差别无统计意义时，可以用一公共的斜率来拟合此两条回归线。(见P121，一般了解)第四节直线回归方程的应用一、描述两变量的依存关系二、利用回归方程进行预测三、利用回归方程进行统计控制统计控制：是利用回归方程进行逆估计，如要求应变量在一定范围波动，可以通过自变量的取值来实现。四、应用直线回归方程应注意的问题1、作回归分析要有实际意义，不能把毫无关联的两种现象勉强作

8、回归分析，即便有回归关系，也不一定有因果关系，还必须对两种现象间的内在联系有所认识，即能从专业理论上作出合理解释或有所依据2、在进行直线回归分析时，应