概率论与数理统计a 7.3

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1、譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为1000条.若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信N的真值位于其中.这样对鱼数的估计就有把握多了.实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000条.§7.3区间估计1也就是说，我们希望确定一个区间，同时给出一个可信程度,使其他人相信它包含参数真值.湖中鱼数的真值[]这里所说的“可信程度”是用概率来度量的，称为置信水平(置信度).习惯上把置信水平记作，这里是一个很小的正数.2定义：设总体X的分布类型已知，但有未知参数θ,对于给定（0<<1),若由样

2、本X1,…,Xn确定的两个统计量使Θ的真实值置信区间置信下限置信上限则称区间为的置信水平为1的置信区间3通常，采用95%的置信水平，有时也取99%或90%注:1、置信区间是一个随机区间,它能以足够大的概率（1-）套住未知参数的真值。2、置信区间的观测值,是一个普通区间,也称置信区间。4区间估计的一般求法5枢轴量仅含有一个未知参数，但其分布已知的样本函数称为枢轴量如：设X1,X2,…,Xn是取自正态总体的样本,分别为样本均值和样本方差,则有6（一）单个总体(1)2已知1、μ区间估计枢轴量μ置信区间7m置信区间:1-即得枢轴量(2)2

3、未知令89求正态总体均值的置信度为1-的置信区间的步骤小结方差已知方差未知1.由样本值计算2.查标准正态分布函数值表得u1-/24.写出置信区间1.由样本值计算2.查自由度为n-1的t分布上侧分位数表得t1-/2(n-1)3.计算4.写出置信区间3.计算102、σ2区间估计(μ未知)枢轴量令可得11s2的置信区间可得s的置信区间12例某自动包装机包装的洗衣粉重量服从正态分布，今随机抽查12袋，测得其重量（单位：克）分别为：1001，1004，1003，997，999，1000，1004，1000，996，1002，998，999。求2

4、的置信度为0.95的置信区间。解：未知，2置信区间为1-=0.95,/2=0.025.查得所以,2的置信度为0.95的置信区间为13例食品厂从生产的罐头中随机抽取15个称量其重量，得样本方差s2=1.652（克2），设罐头重量服从正态分布，试求其方差的置信水平为90%的置信区间。14（二）两个总体两样本独立1-2的置信区间枢轴量15枢轴量其中(2)未知1-2的置信区间16①下限>0②上限<0③包含0认为没有显著差异17枢轴量18例为比较Ⅰ、Ⅱ两种型号步枪子弹的枪口速度，随机地取Ⅰ型子弹10发，得枪口速度的平均值为x=500(m

5、/s),标准差s1=1.10(m/s);随机地取Ⅱ型子弹20发，得枪口速度的平均值为y=496(m/s),标准差s2=1.20(m/s).假设两总体都近似服从正态分布，且方差相等.求两总体均值差μ1-μ2的一个置信度为0.95的置信区间。解：μ1-μ2置信区间为：故得μ1-μ2的置信度为0.95的置信区间为n1=10,n2=20,1-α=0.95,α/2=0.025，t0.975(28)=2.048置信下限大于0，我们认为μ1比μ2大.19例研究由机器A和机器B生产的钢管内径，随机抽取机器A生产的钢管18只，测的样本方差s12=0.34(mm2

6、);抽取机器B生产的钢管13只，测的样本方差s22=0.29(mm2).设两总体相互独立，且分别服从正态分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ22)，μ1,μ2,σ12,σ22均未知.求方差比的置信水平为0.90的置信区间.解：σ12/σ22的置信区间为：故σ12/σ22的置信度为0.90的置信区间为n1=18,n2=13,1-α=0.90,α/2=0.05Fα/2(n1-1,n2-1)=F0.05(17,12)=1/F0.95(12,17)=1/2.38F1-α/2(n1-1,n2-1)=F0.95(17,12)=2.59置信区间包含1，我们认

7、为σ12,σ22两者无显著差别.20满足设是一个待估参数，给定若由样本X1,X2,…Xn确定的统计量则称区间是的置信水平为的单侧置信区间.称为单侧置信下限.单侧置信区间21又若统计量满足则称区间是的置信水平为的单侧置信区间.称为单侧置信上限.22例:μ的单侧区间估计（σ2未知）1-枢轴量即(1)若∴μ的单侧置信下限：23即(2)若∴μ的单侧置信上限：1-24例:σ2的单侧区间估计（μ未知）枢轴量或∴σ2的单侧置信上、下限分别为：25设灯泡寿命服从正态分布.求灯泡寿命均值的置信水平为0.95的单侧置信下限.例从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试验

8、，测得寿命X（单位：小时）如下：1050，1100，1120，1250，128026一个正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限(P205)置信区间待