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《概率论与数理统计7.3置信区间》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、解(1)样本的似然函数为当00,X1,X2,…,Xn是取自总体X的一组样本,求的极大似然估计量与矩估计量.其中>0为未知参数,例设总体X的密度为故有对数似然函数：对求导并令其为0可得似然方程：=0,解得极大似然估计量：令(2)解得矩估计量：而区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.无偏性有效性一致性——估计量的期望值等于未知参数的真值.为了使估计的结论更可信,需要引入区间估计.评选标准——方差更小的无偏估计量.•样本k阶原点矩是总体k阶原点矩的无偏估计量;•样本方差S2是总体方差2的无偏估计量;•无偏估计
2、量的函数未必是无偏估计量─•在的所有线性无偏估计量中,样本均值X是最有效的.参数的点估计是用样本算得的一个值去估计未知参数.使用起来把握不大.点估计值仅仅是未知参数的一个近似值,它没有反映出这个近似值的误差范围.若我们根据一个实际样本得到鱼数N的极大似然估计为1000条.一个可以想到的估计办法是：若我们能给出一个区间,并告诉人们该区间包含未知参数N的可靠度(也称置信系数).但实际上,N的真值可能大于1000条,也可能小于1000条.§7.3单个正态总体均值与方差的置信区间也就是说,给出一个区间，使我们能以一定的可靠度相信区间包含参
3、数µ。湖中鱼数的真值[]这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的,称为置信概率，置信度或置信水平.习惯上把置信水平记作1-,这里是一个很小的正数.譬如，在估计湖中鱼数的问题中,•根据置信水平1-,可以找到一个正数,例如,通常可取置信水平=0.95或0.9等等.根据一个实际样本,由给定的置信水平1-,我们求出一个的区间,使置信水平的大小是根据实际需要选定的.如何寻找这种区间？使得^我们选取未知参数的某个估计量,^只要知道的概率分布就可以确定.下面我们就来正式给出置信区间的定义,并通过例子说明求置信区间的方法.由不等式可以
4、解出：这个不等式就是我们所求的置信区间代入样本值所得的普通区间称为置信区间的实现.1）为两个统计量（由样本完全确定的已知函数）；X1,X2,…,Xn是取自总体X的样本,对给定值0<<1,满足定义4设是总体X的待估参数,分别称为置信下限和置信上限.一、置信区间的概念则称随机区间为的置信水平为1-的双侧置信区间.若统计量和置信度置信概率2）是随机区间,并非一个实现以1-的概率覆盖了要求置信区间的长度尽可能短.估计的可靠度：─即P(<<)=1-要尽可能大.─可靠度与精度是一对矛盾,一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高
5、精度.估计的精度：即要求区间置信的长度尽可能短,或能体现该要求的其它准则.要求以很大的可能被包含在置信区间内.要求估计尽量可靠.置信水平的概率意义：置信水平为0.95是指100组样本值所得置信区间的实现中,约有95个能覆盖,而不是一个实现以0.95的概率覆盖了.估计要尽量可靠,估计的精度要尽可能的高：^只要知道的概率分布就可以确定.如何根据实际样本,由给定的置信水平1-,求出一个区间,使根据置信水平1-,可以找到一个正数,二、置信区间的求法(一)单个正态总体1.均值(1)已知方差21.均值1-2(1)已知方差
6、12,22(二)两个正态总体2.方差2(2)未知方差2使得^我们选取未知参数的某个估计量,由不等式可以解出：这个不等式就是我们所求的置信区间分布的分位数①②③(1)已知均值(2)未知均值(2)未知方差12,222.方差12/22(1)已知均值1,2(2)未知均值1,2,但相等!对于给定的置信水平,根据估计量U的分布,确定一个区间,使得U取值于该区间的概率为置信水平.─X,S2分别是其样本均值和样本方差,─X~N(,2/n),求参数、2的置信水平为1-的置信区间.设X1,…,Xn是总体X~N(
7、,2)的样本,①确定未知参数的估计量及其函数的分布是的无偏估计量,②由分布求分位数即得置信区间(一)单个正态总体置信区间的求法(1)已知方差2时─故可用X作为EX的一个估计量,~N(0,1),对给定的置信度1-,按标准正态分布的双侧分位数的定义查正态分布表可得u/2,③由u/2确定置信区间有了分布就可求出U取值于任意区间的概率简记为由抽样分布定理知1.均值的置信区间是求什么参数的置信区间?置信水平1-是多少?^1.寻找未知参数的一个良好的点估计量(X1,X2,…,Xn);^确定待估参数估计量函数U()的分
8、布;求置信区间首先要明确问题：2.对于给定的置信水平1-,由概率─(,)就是的100(1-)％的置信区间.─一般步骤如下:─3.由分位数
9、U
10、x确定置信区间(,).─查表求出分布的分位数x,总体分布的形式是否已知,
