第六章 刚体绕定轴转动微分方程

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1、§6-1刚体定轴转动微分方程§6-2转动惯量*§6-3刚体平面运动微分方程第六章刚体定轴转动微分方程设定轴转动刚体某瞬时的角速度为ω，角加速度为ε设其上第i个质点所受的外力为，内力为因刚体作定轴转动，故只考虑力矩的效应第i个质点所受的力Fi对转轴z轴之矩为§6-1刚体定轴转动微分方程zωεrimi•对整个刚体令即——刚体对z轴的转动惯量,它是转动刚体惯性的度量定轴转动刚体转动惯量与转动角加速度的乘积等于作用于刚体上的所有外力对转轴之矩的代数和。——刚体定轴转动微分方程OR§6-2转动惯量一、简单形体的转动惯量均质细直杆dxx均质薄圆环RzO均质圆板mi二、

2、回转半径(惯性半径)rdrlxzO三、平行轴定理riyzxO·miJz=JC+md2刚体对任一定轴z轴的转动惯量Jz，等于它对通过质心C且与z轴平行的C轴的转动惯量JC，加上其质量m与两轴间的距离d的平方乘积。z'轴过质心C,则Cz'x'y'dri'【证明】设质心C的坐标为(xC,yC),则任一点mi的坐标满足:xi=xC+xi',yi=yC+yi'即显然【例6-1】图示质量为m长度为l的均质直杆OA和质量为m半径为R的均质圆盘C在A点刚性连接，求系统对垂直于图面且过O点的轴的转动惯量。【解】JO=JO(OA)+JO(C)OCA四、例题§6-3刚体平面运动

3、微分方程由质心运动定理得刚体的平面运动可视为随质心（基点）的平动和绕质心的转动的合成。由相对于质心的动量矩定理得CrC应用时多取投影式φDO一、运动微分方程【例6-6】均质圆轮C质量为m，其上绕以细绳，绳的一端固定于O点。求其下降时质心C的加速度和绳的拉力。OC【解】1）轮C作平面运动运动微分方程为TCmg2）轮C左边沿与绳接触点I为瞬心3）求解I二、例题AO【例6-7】均质圆盘O和C的质量分别为M和m，半径分别为R和r。圆盘O可绕通过点O的水平轴转动，绳的一端绕在圆盘O上，另一端绕在圆盘C上。求当圆盘C下落时质心C的加速度及绳AB段的张力。TCBTmg

4、MgN【解】1）轮O作定轴转动其平面运动微分方程为点C的绝对加速度2）轮C作平面运动点B为相对瞬心4）求解点A的加速度其平面运动微分方程为【例6-8】长为l质量为m的均质直杆A端用细绳悬挂于天花板上，B端静止放置于光滑水平面上。求突然剪断绳时点B的加速度及杆AB的角加速度。OABCmgNaCε【解】1）AB杆作平面运动列平面运动微分方程2）分析B点的加速度因ω=0，故求aB的投影3）求解aCAOCBr【例6-9】图示半径为r质量为m的均质圆轮上缠以无重水平细绳，A端固定。轮心O处作用一水平常力FO，轮与水平地面间的动滑动摩擦因数为f。设力FO足够大，使

5、轮心O水平向右运动，轮子转动使不可伸长细绳展开。求在FO作用下轮心O从静止开始走过s段路程时轮子的角速度和角加速度。FCmgNFFOωε【解】1）列轮子运动方程4）摩擦条件：F=Nf2）C为瞬心，则满足aO=rε，vO=rω5）求解：3）匀变速运动学条件aOC【例6-10】质量为m半径为r的均质圆柱C无初速的放在质量为M倾角为的斜面上，斜面与地面光滑接触。不计滚动阻力，求斜面的加速度、圆柱中心C点的相对加速度和角加速度。mgNaraeεae【解】1）若斜面与圆柱光滑接触，圆柱受力如图。整体的动量在水平方向守恒求解：显然圆柱只滑不滚。CmgNaraeF

6、εae2）若斜面与圆柱粗糙接触，圆柱作纯滚动。整体动量水平方向守恒求解圆柱的牵连运动为平动CmgNaraeFεae3）若斜面与圆柱粗糙接触，圆柱作既滑动又滚动。整体动量水平方向守恒求解摩擦条件：