刚体的平移与绕定轴转动

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1、第12章刚体的平移与绕定轴转动在许多工程实际问题中，有些情况下不能把运动物体看作为一个点，而是需要考虑其本身的几何形状和尺寸，例如：汽缸中的活塞，摆式送料机的送料槽以及传动机械中的带轮、齿轮等，此时应把物体抽象为刚体。刚体运动的形式是多种多样的。本章研究刚体的两种最简单、也是最基本的运动形式：平行移动（简称平移）和绕定轴转动，这两种运动一方面在工程上有着广泛的应用；另一方面,其它一些较复杂的刚体运动都可看作这两种运动的复合。因此，本章也是研究刚体其它运动的基础。12.1刚体的平动12.2质心运动定理12.3刚体绕定轴转动12.4刚体定轴转动微分方程§12.1刚体的平移1

2、.刚体平移的概念刚体在运动过程中，若其上任意直线始终保持与初始位置平行，则这种运动称为刚体的平行移动。（简称平移）例如：在直线轨道上行驶的列车车厢的运动，摆式振动筛中筛子ABCD的运动，都具有上述特征，都属平动，车厢作平动时，其上各点的运动轨迹为直线，称为直线平动；筛子平动时，各点的运动轨迹为曲线，称为曲线平动，由此可见，平动刚体上各点运动的轨迹并非都是直线。你能否再举出些实例来说明刚体平移的概念呢？§12.1刚体的平移2.平移刚体上各点的轨迹、速度、加速度特征在平移刚体上任取两点，作矢量　，如图12.2所示。根据刚体不变形的性质和刚体平移的特征，矢量的长度和方向始终不

3、变，故是常矢量。动点位置的变化可用矢径的变化表示即对时间求导得由于BA是常矢量，因此，于是（12.1）A，B§12.1刚体的平移再对时间求一次导得（12.2）因为是刚体上任意两点，因此上述结论对刚体上所有点都成立。即刚体平移时，其上各点的运动轨迹形状相同且彼此平行；每一瞬时，各点具有相同的速度和相同的加速度。上述结论表明，刚体的平移可以用其上任一点的运动来代替，即刚体平移可以归结为点的运动来研究。例12.1曲柄导杆机构如图所示，柄绕固定轴Ｏ转动，通过滑块带动导杆在水平导槽内作直线往复运动。已知　　　　　　（为常量），求导杆在任一瞬时的速度和加速度。§12.1刚体的平移解

4、1.分析：由于导杆在水平直线导槽内运动，其上任一直线始终与它的最初位置相平行，且其上各点的轨迹均为直线，故导杆作直线平移。导杆的运动可以用其上任一点的运动来表示。2.计算：选取导杆上的Ｍ点研究，Ｍ点沿轴作直线运动，其运动方程为点的速度、加速度分别为§12.2质心运动定理12.2.1质心的概念由个质点组成的质点系中，设任一质点的质量为，它在空间的位置以矢径表示,则由式（12.3）所确定的点C称为质点系的质量中心，简称质心。式中为质点系的总质量。质心位置的直角坐标形式为（12.4）§12.2质心运动定理说明：1.质心与重心是两个不同的概念，质心反映了构成质点系的各质点质量的

5、大小及质点的分布情况；而重心是各质点所受的重力组成的平行力系的中心，只有当质点系处于重力场时重心才有意义，而质心则与该质点系是否在重力场中无关。2.若将式(12.4)中的分子、分母同乘以重力加速度g即得重心的坐标公式。可见，在地球表面（均匀重力场），质点系的质心和重心的位置相重合。12.2.2质心运动定理设刚体在外力作用下作加速平移，某瞬时刚体上各质点的加速度均相同，且等于质心的加速度为。按照质点的动静法，在刚体内每个质点上虚加质点的惯性力，它和刚体内每个质点上作用的主动力和约束力组成形式上的平衡力系。§12.2质心运动定理平移刚体上惯性力系组成空间平行力系。与重心计算

6、相类似，该惯性力系的简化结果为一个通过质心C的合力。即（12.5）式中，m为刚体总质量，于是，平移刚体上的外力（包括主动力和约束力）与该惯性力系合力共同构成一个形式上的平衡力系。§12.2质心运动定理即将代入得（12.6）将式（12.6）与质点动力学基本方程式（11.13）相比较，就可发现，刚体作平移时，它的质心运动的情况与单个质点的运动情况相同。只要该质点的质量等于刚体的质量，则作用在该质点上的力等于作用于刚体上所有外力的合力。可以证明，以上结论也适用于质点系，即质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（或外力的主矢）。这就是质心运动定理。实

7、际应用中常将质心运动定理写成投影式。即:§12.2质心运动定理例12.2设电动机外壳和定子的质量为，转子质量为，而转子的质心因制造和安装误差不在轴线上，如图所示。设偏心距，转子以匀角速度转动。如电动机固定在机座上，求机座对电动机的约束力。解：1.取整个电动机为研究对象。设机座对电动机的约束力为，取图示坐标系。则外壳与定子的质心坐标在原点处，转子质心的坐标为§12.2质心运动定理整个电动机的质心坐标为由此可求得质心C的加速度为§12.2质心运动定理利用质心运动定理的投影式，有将代入，解得机座对电动机的约束力为说明：1.在的表达式中，由重力引