浅析卡诺图的降维

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1、湖北职业技术学院学报2003年第3期第6卷第3期[文章编号]1671-8178-2003（03）－0067－04浅析卡诺图的降维万学斌（湖北职业技术学院，湖北孝感432000）[摘要]文章提出了一种多变量逻辑函数化简的卡诺图法----降维卡诺图法，从而有效扩展了卡诺图化简的适用范围。[关键词]卡诺变量；降维变量；卡诺图；降维卡诺图[中图分类号]TP331.2[文献标识码]A·69·湖北职业技术学院学报2003年第3期第6卷第3期在数字逻辑电路中，化简逻辑函数是分析和设计数字逻辑电路的重要理论基础和基本技能。我们知道，逻辑化简有两种方法：一种是代数法化简；另一种是

2、卡诺图化简。前者化简过程技巧性强，结果是否为最简还不太容易确定，而后一种方法却克服了前者的不足，使化简变得更加可操作，更重要的是它还可以化简具有随意项的逻辑函数，这是代数法化简无能为力的，但是卡诺图法化简受逻辑变量个数限制，当逻辑变量个数多于5时，卡诺图化简就显得有些麻烦，如果使用引入变量的卡诺图化简，就会使多变量函数化简变得简单[1]，下面介绍引入变量的卡诺图化简问题。一卡诺化简的依据和概念卡诺图法化简是利用格雷码表，直观地反映逻辑函数最小项之间逻辑相邻关系的方格图，它不仅是表达逻辑函数的一种方式，而且也是化简逻辑函数的一种工具。在卡诺图上把逻辑相邻项安排在几

3、何相邻位置，使相邻项能简化为一个与项，同时也使逻辑变量个数减少。当变量个数多于五个时，卡诺化简就显得有些麻烦，可以使用引入变量的卡诺图化简，这样一来就使得卡诺图中的变量数n和逻辑变量数m不再相等（m>n），为讨论方便，定义以下概念：1、引入变量的卡诺图称为降维卡诺图。2、k=m－n为卡诺图降维阶数，k为降维变量数，m为逻辑变量数，n为卡诺变量数。3、k=1为一阶降维卡诺图，k≥2为高阶降维卡诺图。当k=0时，每一个小方格代表一个最小项，小方格中只能是1（表示该最小项存在）和0（表示该最小项不存在）或者是随意项。当k≠0，使得降维卡诺图面积表示只有原卡诺图表面积的

4、1/2k，它的每个小方格实际上是原卡诺图2k个最小项的集合。为此，小方格的填写就有四种可能的情形：⑴、填写1，表示函数包含有2k个最小项，即该最小项中只包含有卡诺变量而不包含降维变量。⑵、填写0，表示一个最小项也不包含，即卡诺变量和降维变量都不包含。⑶、填写降维变量函数，表示2k最小项中的部分最小项之和。⑷、填写随意项。二用降维卡诺图表示与或函数1、卡诺图快速填写方法·69·湖北职业技术学院学报2003年第3期第6卷第3期用卡诺图表示逻辑函数即填写卡诺图，初学者往往是把一般与或表达式首先转换为最小项与或表达式，然后填图。其实，卡诺图的填写是十分简单的，只需要把已

5、知的逻辑变量值代入逻辑函数表达式，求出逻辑函数值，填入卡诺图对应的小方格即可。然而这种方法的运算量大，操作不易，我们在学习了卡诺图化简后，卡诺图的填写就可以利用卡诺图化简思想来快速填写了。也就是说，卡诺图化简可以把一个卡诺圈简写为一个与项，而快速法填写卡诺图就可以将一个与项展开为一个卡诺圈。不过在快速填写卡诺图时，我们掩去了卡诺圈，这是因为我们不是在进行卡诺化简，而是在填写逻辑函数的卡诺图，用卡诺图在表达逻辑函数，为卡诺图化简作准备。例1：填写F=A＋BC＋ABC的卡诺图解：函数F的卡诺图为图一，此处为了表达清楚，把每个与项对应的卡诺圈都没有掩去。BCAOOO1

6、111OOOO1O11111图1F的卡诺图ABC＝ABC也就是说，下面四个1对应于A，A也可散开为下面的四个1；BC对应11列的两个1；ABC对应着1行11列的卡诺圈。在卡诺化简时应该掩去所有卡诺圈。掌握了卡诺图的快速填写方法，将会为以后卡诺化简有很大的帮助。2、与或函数降维卡诺图的填写多变量与或函数中的一个与项如何填入降维卡诺图?根据卡诺图化简依据和卡诺图快速填写方法就有以下三种情况（与或函数中不含随意项的问题）。⑴、当逻辑函数的与项中只含有卡诺变量时，则如同一般卡诺图填写方法，按上例填写，则在与项对应的卡诺圈中小方格为1。⑵、当逻辑函数的与项中既含有卡诺变量

7、，又含有降维变量时，则在与项对应的卡诺圈中所有小方格填写降维变量的与项。⑶、当逻辑函数的与项只有降维变量时，则在卡诺图中所有小方格中填写降维变量与项。把与或函数的每个与项按上述规则填入降维卡诺图就得到了该函数的原始降维卡诺图，经过简单的逻辑代数运算就得到了该函数的降维卡诺图。例2：填写一阶降维卡诺图解：取D为降维变量，A、B、C为卡诺变量，则有三变量的一阶降维卡诺图为图2。AB=∑m(6，7)，BC=∑m(3，7)(情形1)=∑m(0，1)·D(情形2)=∑m(0，1，2，3，4，5，6，7)·(情形3)BCAOOO1111OOD+（0）D+（1）1+（3）（2

8、）1（4）（5）1+1+