第六章定积分

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1、第六章定积分本章教学内容一元函数积分学包含两个基本问题，不定积分是第一个基本问题，本章的定积分是第二个基本问题.定积分有广泛的实际背景，在几何学、物理学、经济学等领域有着大量的应用.定积分的概念是作为某种和式的极限引入的，表面上看起来它与不定积分是两类不同的问题，在历史上，它们的发展也是相互独立的.直到17世纪，牛顿和莱布尼兹分别发现了定积分和不定积分的内在联系，即牛顿-莱布尼兹公式，使求和式极限的定积分与求不定积分这两个基本额问题联系了起来，使定积分的计算成为可能，从而推动了积分学的发展.本章内容很丰富，使学好微积分课程最重要的一章.先引入定积分的概念和性

2、质讨论了变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，牛顿-莱布尼兹公式，介绍定积分换元法与分部积分法，简单有理函数与无理函数的积分，广义积分的概念及其计算法，函数的概念及其性质，用定积分来计算平面图形的面积，旋转体及已知截面面积的立体的体积．教学思路1．基本概念要讲透：定积分，变上限的积分作为其上限的函数，广义积分，函数．2．基本定理要使学生懂：变上限的积分作为其上限函数的求导定理，原函数存在定理，牛顿-莱布尼兹公式．3．基本计算要让学生会：定积分的换元法和分部积分法，变上限的积分作为其上限函数的导数，广义积分，函数，用定积分计算平面图形面积和旋转体的体积．教

3、学安排本章教学时数为12学时，课时分配如下：§6.1引出定积分概念的例题§6.2定积分的定义§6.3定积分的性质592学时§6.4定积分与不定积分的关系2学时§6.5定积分的换元积分法§6.6定积分的分部积分法2学时§6.7定积分的应用（一）平面图形的面积2学时§6.7定积分的应用（二）旋转体和已知平行截面面积的立体的体积（三）经济应用问题举例2学时§6.9广义积分与函数2学时教学目标理解定积分的概念和性质，掌握定积分的换元法和分部积分法，会求简单有理函数和简单无理函数的积分，理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿-莱布尼兹公式，了解广义积分

4、的概念，了解用定积分表达平面图形面积和旋转体体积的方法．§6.1引出定积分概念的例题§6.2定积分的定义§6.3定积分的性质教学内容：引入定积分概念的两个例子，定积分的概念，定积分的性质．教学重点：定积分的概念和性质．教学难点：对定积分概念的理解，包括如何用数学方法去处理非均匀变化问题．教法建议：1．本次课的内容较多，要重点突出．2．教师要重视定积分概念的教学，它除了反映微积分的基本思想、构造积分的理论体系之外，还对形成元素法及为学习别的积分（如二重积分等）奠定了基础，因此是极其重要的.59讲定积分概念时，可先从求曲边梯形的面积、变速直线运动的距离等实例入手

5、，介绍无限分割与无限求和的思想方法，抽象出定积分定义，并抓住定义中关键的四句话：分割、近似代替、求和、取极限来进行阐述，指出连续必可积的充分条件，还可举例说明怎样运用定积分定义解题，最后再介绍定积分的一系列性质和积分中值定理.§6.4定积分与不定积分的关系教学内容：本节讲授变上限积分表示上限的函数及其求导定理，原函数存在定理，牛顿—莱布尼兹公式．教学重点：变上限的积分表示上限的函数及其求导定理，牛顿—莱布尼兹公式．教学难点：变上限的积分表示的函数及其求导问题．教法建议：1．变上限积分定理用积分定义了一类新函数，设，则是的原函数，即，它揭示了连续函数的原函数及

6、不定积分的存在性，并以积分形式给出了的一个原函数.将写成或，可见求导（或微分）运算正是（变上限）积分运算的逆运算，这揭示了看来似不相关的微分学与积分学中两种重要运算的内在联系.由变上限积分定理还可以推出重要的牛顿-莱布尼兹公式，它本身在证明单调性、求极值、求极限方面还有许多用处，因此我们把该定理称为微积分基本定理，可见其重要性，所以要下功夫使学生能深刻理解，熟练运用.2．牛顿-莱布尼兹公式又称为微积分基本公式，其重要性是不言而喻的，它把计算定积分归结为计算任意原函数在一个区间上的增量：（）59上式左边时和式的极限，而右边求原函数是微分（或求导）运算的逆运算，

7、可见牛顿-莱布尼兹公式进一步建立了积分与微分这两种对立统一运算之间的联系，而求原函数可通过计算不定积分来实现，于是牛顿-莱布尼兹公式又建立了两种积分之间的联系：这样就避开了求和式的极限，开辟了计算定积分的有效而简洁的途径.还可把牛顿-莱布尼兹公式写成可见借助牛顿-莱布尼兹公式还沟通了微分中值定理与积分中值定理这两个重要的中值定理之间的联系.要加深学生对变上限的积分表示的函数的理解，熟练掌握变上限积分表示的函数的求导问题，除书上的例题外还可以补充几个这方面的例子．§6.5定积分的换元积分法§6.6定积分的分部积分法教学内容：定积分的换元法，定积分的分部积分法．

8、教学重点：定积分的换元法和分部积分法．教学难点：定积