第六章定积分及其应用

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1、第六章定积分及其应用一、定积分定义若存在，且极限值与区间的分划、点的取法无关，则称f(x)在[a,b]上可积。记。几何意义：当f(x)≥0,表示以曲线y=f(x)为顶的曲边梯形面积（即：由曲线y=f(x)及x轴、直线x=a、x=b所围区域面积）。二、连续函数原函数存在定理如果函数f(t)在[a,b]上有定义且连续，则积分上限的函数在[a,b]上可导，并且它的导数为1）变上限积分的导数例1：设求.解：。2）变下限积分的导数例2：设求dy.解：dy=y’dx=.3）复合上限积分的导数例3：设求.解：设u=x2,则三、定积分性质（1）即：常数可提出积分号外。（2）即

2、：代数和的积分等于积分的代数和。（3）即：对调积分的上、下限，应改变符号。（4）即：若积分的上、下限相同，则积分值为零。（5）即：积分区间的可加性。例1：设，求解：例2：求解：先将被积函数的绝对号脱去：，于是（6）如果在[a,b]上，f(x)≤g(x),则。例：在[0，1]上，特别是：如果在[a,b]上，f(x)≥0,则。（7）如果在[a,b]上，m≤f(x)≤M,则例：在[0，1]上，故。又于是12。（8）若在[a,b]上，f(x)可积，则也可积（但反之不成立），且。反例：在[a,b]上不可积，但=1在[a,b]上连续、可积。四、定积分的计算牛顿—莱布尼兹公

3、式：若f(x)在[a,b]上连续，则其中F(x)是f(x)的一个原函数。例：（1）。（2）。（3）。（4）註.定积分的换元变换需跟着换限。例1：求。解：设则x=t2,dx=2tdt,例2：设f(x)是可积函数，试证：。证明：对积分作变量替换：则当x=0时，；当时，t=0;所以有註.定积分与积分变量无关。例3：证明从而说明奇函数在对称区间的积分为零。证明：对作变量替换：x=-t,则dx=-dt,当x=-a,t=a;当x=a,t=-a;所以，若f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x),从而,移项，得，于是，即：奇函数在对称区间的积分为零。例如：。五、定积分的几何

4、应用1）求平面区域面积由曲线y=f(x),y=g(x)及直线x=a,x=b围成的区域面积A=。例：求x2=8y与它及x轴围成的区域面积。解：曲线在点A（4，2）处切线方程：y-2=x-4,即：y=x-2,A先做平面区域图形，2面积A=1）求旋转体体积由曲线y=f(x)，，绕x轴旋转生成的旋转体体积。由曲线x=g(y)，，绕y轴旋转生成的旋转体体积。例：求由曲线绕1）x轴,2）y轴旋转生成的旋转体体积。解：绕x轴旋转生成的旋转体体积。0绕y轴旋转生成的旋转体体积3)求曲线弧长直角坐标系曲线y=f(x)，，弧长;参数曲线,弧长极坐标系曲线,，弧长