计算方法 1.3 分段线性插值

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1、4.分段线性插值公式4.1高次插值的Runge现象Lagrange插值的截断误差表明:插值多项式与被插函数的逼近程度,同插值节点的数目和位置有关。一般地,节点越多,逼近程度越好,但也有例外!例如:考察函数-110-0.360.36从图可以看出:仅在区间的中部能较好的逼近函数f(x),在其它部位差异较大,而且越接近端点,逼近效果越差(虽然在插值节点上没有误差,但在插值节点之外插值误差变得很大,从“整体”上看,插值逼近效果将变得“很差”。即:高次插值的整体逼近效果往往不理想!)。可以证明,当节点无限加密时,Ln(x

2、)也只能在很小的范围内收敛,在插值区间的边界附近发生剧烈的震荡,这一现象称为Runge现象。它表明通过增加节点来提高逼近程度是不适宜的,因而不采用高次多项式插值。Runge现象随着插值节点数增加,插值多项式的次数也相应地增加,而插值多项式在插值区间的边界上发生剧烈的震荡。它揭示了高次插值多项式存在的缺陷。产生的原因误差有截断误差和舍入误差两部分组成,而在插值的计算过程中,舍入误差可能会扩散或放大(数值不稳定!),从而引起计算失真!。问题:为了既要不增加插值多项式的次数以减少舍入误差(避免高次插值),又要缩小插值

3、区间以减少截断误差(提高插值精度),可采用分段插值的方法。分段低次插值问题:就是将插值区间分为若干个小区间,然后在每个小区间上使用低次插值,最后将每个小区间上的插值多项式连接在一起,得到整个区间上的插值函数。~~~~~~~~~~~~~~~1)2)3)分段低次插值问题的数学描述:称函数为具有分划的分段次式,点称作的节点。4.2分段线性插值(就是通过插值点用折线段连接起来逼近被插函数)分段线性插值问题:易知,为是一条折线函数,在每个小区间上可表示为:于是,是在上是连续函数。用“基函数法”构造分段线性插值函数,则在整

4、个区间上为从“整体上”构造分段线性插值函数的基函数。每个插值节点上所对应的插值基函数满足:基于以上两方面,我们观察分段线性插值函数的构造右左1)在插值节点上,插值基为:2)在插值节点上,插值基为:3)在插值节点上,插值基为:用分段线性插值逼近上述例子的效果,取n=10。S1(x)的图形是一条以(xi,f(xi))为折点的折线。提示:参考《高等数学》,求最大值分段线性插值函数的误差估计定理:说明:可以加密插值节点,缩小插值区间,使h减小,从而减小插值误差。4.3分段三次Hermite插值多项式用“基函数法”构造分

5、段三次Hermite插值函数,则在整个区间上为类似地,只需在整个区间上定义一组分段插值基函数,,。观察下图:左右左右左,右连接起来!于是1)在插值节点上,插值基为:2)在插值节点上,插值基为:3)在插值节点上,插值基为:插值基函数的图像:1)在插值节点上,插值基为:2)在插值节点上,插值基为:3)在插值节点上,插值基为:插值基函数的图像:分段三次Hermite插值函数的误差估计定理:提示:类似于前面的误差估计。几点说明:1)只要节点间距充分小,插值法总能获得所要求的精度。2)局部性。如果修改某个数据,则插值曲线

6、仅在某个局部范围内受影响。

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