计算方法 1.3 分段线性插值

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1、4.分段线性插值公式4.1高次插值的Runge现象Lagrange插值的截断误差表明：插值多项式与被插函数的逼近程度，同插值节点的数目和位置有关。一般地，节点越多，逼近程度越好，但也有例外！例如：考察函数-110-0.360.36从图可以看出：仅在区间的中部能较好的逼近函数f(x),在其它部位差异较大，而且越接近端点，逼近效果越差（虽然在插值节点上没有误差,但在插值节点之外插值误差变得很大,从“整体”上看,插值逼近效果将变得“很差”。即：高次插值的整体逼近效果往往不理想！）。可以证明，当节点无限加密时，Ln(x)也只能在很小

2、的范围内收敛，在插值区间的边界附近发生剧烈的震荡，这一现象称为Runge现象。它表明通过增加节点来提高逼近程度是不适宜的，因而不采用高次多项式插值。Runge现象随着插值节点数增加，插值多项式的次数也相应地增加，而插值多项式在插值区间的边界上发生剧烈的震荡。它揭示了高次插值多项式存在的缺陷。产生的原因误差有截断误差和舍入误差两部分组成，而在插值的计算过程中，舍入误差可能会扩散或放大（数值不稳定！），从而引起计算失真！。问题：为了既要不增加插值多项式的次数以减少舍入误差（避免高次插值），又要缩小插值区间以减少截断误差（提高插值

3、精度），可采用分段插值的方法。分段低次插值问题：就是将插值区间分为若干个小区间，然后在每个小区间上使用低次插值，最后将每个小区间上的插值多项式连接在一起，得到整个区间上的插值函数。~~~~~~~~~~~~~~~1)2)3)分段低次插值问题的数学描述：称函数为具有分划的分段次式，点称作的节点。4.2分段线性插值（就是通过插值点用折线段连接起来逼近被插函数）分段线性插值问题：易知，为是一条折线函数，在每个小区间上可表示为：于是，是在上是连续函数。用“基函数法”构造分段线性插值函数，则在整个区间上为从“整体上”构造分段线性插值函数

4、的基函数。每个插值节点上所对应的插值基函数满足：基于以上两方面，我们观察分段线性插值函数的构造右左1）在插值节点上，插值基为：2）在插值节点上，插值基为：3）在插值节点上，插值基为：用分段线性插值逼近上述例子的效果，取n=10。S1(x)的图形是一条以(xi,f(xi))为折点的折线。提示：参考《高等数学》，求最大值分段线性插值函数的误差估计定理：说明：可以加密插值节点,缩小插值区间,使h减小,从而减小插值误差。4.3分段三次Hermite插值多项式用“基函数法”构造分段三次Hermite插值函数，则在整个区间上为类似地，只

5、需在整个区间上定义一组分段插值基函数，，。观察下图:左右左右左，右连接起来！于是1）在插值节点上，插值基为：2）在插值节点上，插值基为：3）在插值节点上，插值基为：插值基函数的图像：1）在插值节点上，插值基为：2）在插值节点上，插值基为：3）在插值节点上，插值基为：插值基函数的图像：分段三次Hermite插值函数的误差估计定理：提示：类似于前面的误差估计。几点说明：1）只要节点间距充分小，插值法总能获得所要求的精度。2）局部性。如果修改某个数据，则插值曲线仅在某个局部范围内受影响。