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1、用MATLAB实现拉格朗日插值和分段线性插值1、实验内容: 用MATLAB实现拉格朗日插值和分段线性插值。2、实验目的:1) 学会使用MATLAB软件;2) 会使用MATLAB软件进行拉格朗日插值算法和分段线性差值算法;3、实验原理:利用拉格朗日插值方法进行多项式插值,并将图形显式出来。4、实验步骤及运行结果(1)实现lagrange插值1)定义函数:f=1/(x^2+1) 将其保存在f.m文件中,具体程序如下:functiony=f1(x)y=1./(x.^2+1);2) 定义拉格朗日插值函数:将其
2、保存在lagrange.m文件中,具体实现程序编程如下:functiony=lagrange(x0,y0,x)m=length(x); /区间长度/n=length(x0);fori=1:n l(i)=1;endfori=1:mforj=1:nfork=1:n ifj==k continue; endl(j)=(x(i)-x0(k))/(x0(j)-x0(k))*l(j);end endend y=0;fori=1:n y=y0(i)*l(i)+y; end3) 建立测试程序,保存在text.m文件中,实现画图:x=-
3、5:0.001:5;y=(1+x.^2).^-1;p=polyfit(x,y,n);py=vpa(poly2sym(p),10)plot_x=-5:0.001:5;f1=polyval(p,plot_x);figureplot(x,y,‘r',plot_x,f1)输入n=6,出现下面的图形:通过上图可以看到当n=6是没有很好的模拟。于是重新运行text.M并选择n=11由此可见n=11时的图像是可以很好的实现模拟(2)分段线性插值: 建立div_linear.m文件。具体编程如下/*分段线性插值函数:div_linear.m文件*/
4、functiony=div_linear(x0,y0,x,n)%forj=1:length(x)fori=1:n-1 if(x>=x0(i))&&(x<=x0(i+1)) y =(x-x0(i+1))/(x0(i)-x0(i+1))*y0(i)+(x-x0(i))/(x0(i+1)-x0(i))*y0(i+1); else continue; endend%end 测试程序(text2.m): n=input(‘输入n=:’);x0=linspace(-5,5,n);forx=-5:0.01:5
5、 y=div_linear(x0,f(x0),x,n); holdon; plot(x,y,'r'); plot(x,f(x),'b');end2)运行测试程序,这是会出现:输入n=:2)输入n=6,并按Enter键,出现:4)关掉图形界面后,重新运行程序,输入n=11,并按enter键后出现:5)再次关掉图形界面,输入n=100,并按enter键,出现:此时。图形将于原函数图形基本吻合,说明分割区间越多,图像接近真实的图像。(3)用lagrange插值观察y=
6、sin(k*π*x)
7、的误差分析:1)编写函数文件,保存在f2.m
8、中x=0:0.01:1;k=input('输入k:')n=input('输入n:');y=abs(sin(k*pi*x));p=polyfit(x,y,n-1);py=vpa(poly2sym(p),8);plot_x=0:0.01:1;f1=polyval(p,plot_x);plot(x,y,plot_x,f1);2)运行该程序:输入k=:1输入n=:2出现如下图形界面:关掉图形界面后重新运行f2.m,输入k=:1,n=:3出现如下界面: 再次关掉图形界面,输入k=:1,n=:6后出现:此时图形基本吻合。类推,输入k=2,n=3后出
9、现: k=2,n=11,出现如下图形: k=2,n=15,这时出现:k=2,n=19,出现:当k=2,n=21时,图形如下:此时基本吻合。5、实验总结: 通过本次课程设计,我初步掌握了MATLAB运用,加深了对于各种线性插值的理解;培养了独立工作能力和创造力;综合运用专业及基础知识,解决实际数学问题的能力;在本次课程设计中,在老师的精心指导下,收益匪浅。同时对数学的研究有了更深入的认识。