专题13+立体几何中的向量方法(易错起源)-2018年高考数学(理)备考黄金易错点+word版含解析

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1、1.【2017课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.设是平面的法向量，则，即，可取.设是平面的法向量，则，即，可取.则，所以二面角的余弦值为.2.【2017山东，理17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得

2、到的，是的中点.（Ⅰ）设是上的一点，且，求的大小；（Ⅱ）当，，求二面角的大小.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因为，，，平面，，所以平面，又平面，所以，又，因此（Ⅱ）以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得，，，故，，，设是平面的一个法向量.由可得取，可得平面的一个法向量.设是平面的一个法向量.由可得取，可得平面的一个法向量.所以.因此所求的角为.3.【2017北京，理16】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线

3、段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．（I）求证：M为PB的中点；（II）求二面角B-PD-A的大小；（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析：（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】（I）设交点为，连接.因为平面，平面平面，所以.因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.（II）取的中点，连接，.因为，所以.又因为平面平面，且平面，所以平面.因为平面，所以.因为是正方形，所以.如图建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量为，则，即.令，则，.于是.平面的法向量为，所以.由

4、题知二面角为锐角，所以它的大小为.（III）由题意知，，.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.4.【2017天津，理17】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.【答案】（1）证明见解析（2）（3）或【解析】如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴

5、、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（Ⅰ）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.因为平面BDE，所以MN//平面BDE.（Ⅲ）解：依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.所以，线段AH的长为或.5.【2017江苏，22】如图，在平行六面

6、体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，.（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B-A1D-A的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz.因为AB=AD=2，AA1=，.则.(1)，则.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)平面A1DA的一个法向量为.设为平面BA1D的一个法向量，又，则即

7、不妨取x=3，则，所以为平面BA1D的一个法向量，从而，设二面角B-A1D-A的大小为，则.因为，所以.因此二面角B-A1D-A的正弦值为.6.【2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是．（I）证明：平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值．【答案】（I）见解析（II）【解析】（Ⅰ）由已知可得，，所以平面．又平面，故平面平面．（Ⅱ）过作，垂足为，由（Ⅰ

8、）知平面．以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由（Ⅰ）知为二面角的平面角，故，则，，可得，，，．由已知，，所以平面．又平面平面，故，．由，可得平面，所以为二面角的平面角，．从而可得．所以，，，．设是平面的法向量，则，即，所以可取．设是平面的法向量，则，同理可取．则．故二面角EBCA的余弦值为．7.【2016高考新课标2理数】如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将