基本极限分布理论和线性检验统计量构造

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1、基本极限分布理论和线性检验统计量的构造一、基本极限分布理论1．对于序列，如果对于任意，存在使得对于时，有，则称；2．和：是的，如果是有界的，特别地，当时，若有界，则称是；是的，如果；3．依概率收敛：对于所有，有，记作或；性质1：为连续函数，若，则；性质2：，，则；4．依分布收敛：记为的分布函数，若，则；性质1：，若；则（渐近等价引理）性质2：，，则；；性质3：，（连续影射定理）性质4：向量，；；二、推导统计量渐近分布时的有用结论及应用主要结论1．1．若，则，（非中心参数）2．N维随机变量，则（证明思路为对进行楚勒斯基分解，即）3．

2、N维随机变量，BV为幂等矩阵，则应用（检验）1．t统计量。t统计量的计算形式为，则；；；（）故为t分布。2．F统计量。F统计量的计算形式为，q为约束个数，SSR1和SSR0分别为受限模型和非受限的残差平方和。则（*）；；。（*）式上下同除以得到：，，由相关结论可知统计量服从F分布。注意：无论是t统计量还是F统计量只有当残差严格服从正态分布的时候才是有效的。三、计量经济学中的假设检验1．计量经济建模中需要哪些检验从经济理论出发、选择解释变量、构建回归方程到模型的参数估计量的求解，再到该模型能否解释所研究的经济现象的本质特征或所研究的

3、经济活动中的各个因素之间的关系，最后到能否进行模型的实际应用，必须通过各种检验加以确定。一般来讲，计量经济建模需要进行三个方面检验：（1）设定检验（SpecificationTest），即将数据生成设定为某一种具体形式以便进行参数估计；（2）经济意义的检验，即根据经济理论对某个约束条件进行检验；（3）诊断检验（DiagnoseTest），即判断参数估计是否具有显著性，以及模型设定是否合理。设定检验一般包括：正态性检验、异方差检验、序列相关性检验、单位根检验、协整检验、面板数据模型形式设定检验、个体效应固定效应检验、针对非线性模型的

4、线性检验等。2．检验的形式Wald检验、似然比检验和LM检验（得分检验、Rao检验）2.1Wald检验Wald检验与F检验类似，通常适用于残差不是严格服从正态分布的情况，主要优点是应用简单，并且不需要对受限模型进行估计。Wald检验的基本思想是如果约束条件为真，则未受限模型的估计量近似等价于受限模型估计量。由于最值估计量（M-Estimator，即通过求解一系列最大化或者最小化目标函数得出参数估计，Huber，1967年提出，包括普通最小二乘法、非线性最小二乘法、最大似然估计和准极大似然估计等）渐近服从正态分布，即。则在原假设下有

5、，故，，q为约束条件个数。2.2得分检验某些情况下，受限模型比非受限模型具有更简单的形式，因此在构造检验统计量时人们希望只估计受限模型（原假设下的模型）。以线性检验为例，原假设为模型是线性的，备择假设为模型是非线性，显然估计线性模型（原假设成立下的模型）更为简单。这就是提出得分检验的初衷。该检验的基本思想是，如果原假设成立，则目标函数的梯度向量应该渐近服从均值为零的正态分布，即，；则得分检验的统计量。得分检验最初是针对最大似然估计提出的（也就是LM检验），但是其基本思想可以应用于许多估计方法。2.3似然比检验构造Wald检验要求估

6、计非受限模型，构造得分检验要求估计受限模型，而似然比检验需要同时估计受限和非受限模型。统计量的计算表达式为：；为非受限估计量，为受限估计量。为了证明似然比统计量服从分布，需要将在处二阶泰勒级数展开得到（根据最大似然估计的定义，一阶展开项为0），则；由于，则：2.4Wald检验、似然比检验、得分检验的渐近等价性通过（2.1）~（2.3）不难发现，wald检验、得分检验和似然比检验统计量都渐近服从分布，那么它们之间是否存在某种联系呢？是的！这三种检验以及qF统计量在原假设成立时是渐近等价的，即。下面对这三个检验统计量进行总结：（1）L

7、R统计量的构造是建立在似然函数基础上的，因此它依赖于对残差的分布做出假设；（2）qF统计量又被称为伪似然比统计量，因为其构造同样依赖受限和非受限估计量。二者的区别是qF统计量不需要对分布做出假设；（3）Wald检验和得分检验是针对线性模型提出的，但是它们的基本思想同样适用于非线性模型。尽管这些统计量是渐近等价的，但从数值计算的角度来看三者还是存在差别的，这是由于方差估计的不同方法造成的。这就带来一个问题，人们可以根据偏好有选择地使用某种检验得到想要的结果。因此，在实证应用中，理想的解决方法是同时给出三种统计量的检验结果。3．统计量

8、临界值的计算统计量临界值的计算都是以统计量的极限分布为基础的，具体来说有两种方法：（1）如果统计量的极限分布是标准的，则可以直接查相应的分布表；（2）大多数情况下，统计量的分布形式要么非标准要么难以计算，此时需要运用模拟方法。举例来说，单位根检验的