工程振动习题课

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1、工程振动习题课助教：张铜(一)单自由度系统振动第1题（单自由度系统振动）1、如图所示的系统中，质量m只作上下振动，求其固有振动角频率。质量m位于弹簧k3与k4中央，弹簧位于弹簧k1与k2中央，忽略刚棒的质量和惯性矩。解答：假设垂直向下作用集中力F于质量m处，弹簧的长度变化分别为xi(i=1,2,3,4)，m的位移为x。由力矩平衡条件可知：弹簧变形量为：m的位移为：系统等效刚度：系统自由振动的方程为：因此固有振动角频率：类似题目：例题1.1-3，习题1-10等由力平衡条件可知：(二)单自由度系统相轨迹图2

2、、一个单自由度系统的动力学方程为该系统是否为保守系统？画出相轨迹，并指出平衡点类型。第2题解答（1）令动力学方程可以写为：因为f(x)不含有项，所以系统是保守系统。（2）由f(x)=0，可得奇点为：0，-1，+1。保守系统势能函数为：因此-1，1为不稳定点；0为稳定点。（3）设，相轨迹方程为上式乘以并对时间分有：证明：相轨迹图对于不同的初始条件有不同的相轨迹图：相轨迹图（-1，0），（1，0）为鞍点（两条相轨迹相交的奇点），不稳定；（0，0）为中心（闭合轨迹的中心），稳定类似题目：习题6.5(三)模态叠

3、加法求解多自由度系统自由振动及响应问题第3题3、如图所示，系统处于静平衡位置建立系统的运动方程；求系统固有频率和模态，并画出模态图；3）给定初始条件，用模态叠加方法求系统的动态响应。解答：1、：建立系统动力学方程选弹簧未变形位置为坐标原点，系统的运动方程为即2、设方程（1）特解为x=aφsin(ωt+θ)，令ω2=λ，方程可写为：频率方程：模态图：对应的固有频率为：将特征值代入方程各阶模态：可得特征值方程：由，可得模态质量带入根据模态正交性可化为：系统的初始条件为：因此得到主坐标位移响应：代入方程得到（

4、3）设上式解为：从而：利用模态正交性，得到：（1）列出系统动力学方程（2）求解广义特征值方程，得到特征解（3）根据模态正交性和初始条件确定模态坐标（4）根据叠加原理式，得到物理坐标系下的位移响应主要步骤：模态叠加方法求自由振动响应4、在图所示系统中，不计刚杆质量，按图示广义坐标建立系统的运动方程，并求出系统的固有频率和固有模态，画出模态图.解答：把系统的静平衡位置作为两个广义坐标的初始位置或坐标原点，图示方向为正。1）建立动力学方程静平衡位置时弹簧的形变量为：重心下降引起重力势能降低了。系统势能总的变化

5、量为带入拉格朗日方程系统转动惯量I=(2m)*(l/2)2，系统动能函数为：以静平衡点为势能零点，系统在运动中弹簧变形能的增量为系统运动方程为：求解广义特征值方程：求得：把固有频率代入特征值方程，得到模态向量：第一阶第二阶祝大家考试顺利！