速度矢端曲线

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1、第6章运动学基础6.1运动学的基本概念6.2点的运动学6.3刚体的平动6.4刚体绕定轴的转动6.1运动学的基本概念运动学只从几何角度来研究物体的运动(如轨迹、速度和加速度等)，而不研究引起物体运动的物理原因(如力、质量等)。因此，运动学是研究物体运动的几何性质的学科。6.2.1点的运动矢量表示法6.2点的运动学1．点的运动方程在参考坐标系上任取某确定的点O为坐标原点，则动点的位置可用原点至动点的矢径r表示。当动点M运动时，矢径r是时间的单值连续函数，即上式称为用矢量表示的点的运动方程。动点M在运动过程中,其矢径r的末端在空间描绘出的曲线，称为动点M的运动轨迹。动点在∆t时间内的平均速度可

2、表示为2．点的运动速度点的速度可用矢量表示，设动点在t时刻的位置为M点，经过∆t后，即在t+∆t时刻的位置为M´。如图所示。动点在∆t时间内发生的位移为动画：雷达与飞机即动点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。它是一个矢量,其方向沿动点的矢端曲线(即动点轨迹)的切线，并与动点运动的方向一致。在国际单位制中，速度的单位为m/s。3．点的运动加速度由数学的极限概念，动点在t时刻的瞬时速度可对上式取极限，即同样，由数学的极限概念，在t时刻动点的加速度可表示为设动点在t时刻的速度为v,经过△t后,即在t+△t时刻的速度为v′。动点在△t时间内速度的改变为△v=v′-v。则在△t时间内的平均加速度

3、a﹡可表示为即动点的加速度等于它的速度v对时间的一阶导数，也等于矢径r对时间的二阶导数。它是一个矢量，其方向沿速度矢端曲线的切线方向，并指向速度矢端运动的方向。在国际单位制中，加速度的单位为m/s2。设动点M在空间做曲线运动，过固定点O作如图所示的直角坐标系Oxyz。则动点在t时刻的位置M可用它的三个直角坐标x,y,z表示，如图所示。1．点的运动方程当点M运动时，这些坐标一般可表示为时间t的单值连续函数，即6.2.2点的运动直角坐标表示法，，1．点的运动方程在工程实际中，经常遇到点在某平面内运动的情形，此时点的运动方程可简化为2．点的运动速度点的运动速度如可用直角坐标表示，即上式消去时间

4、t，可得轨迹方程为上式称为点M以直角坐标表示点的运动方程。从形式上可以看出，上式也是动点轨迹的参数方程，动点的轨迹可通过消去时间参数t而直接得到。比较以上两式，可得这就是动点速度的直角坐标表示。可见，动点的速度在直角坐标轴上的投影等于其相应的直角坐标对时间的一阶导数。动点M的速度矢可写为其方向为速度的大小为3．点的运动加速度为求动点的加速度，用速度对时间求一阶导数得加速度矢量亦可表示为可见，动点的加速度在直角坐标轴上的投影等于其相应速度投影对时间的一阶导数，也等于其相应的坐标对时间的二阶导数。加速度的大小和方向余弦为6.2.3点的运动自然坐标表示法1．弧坐标动点M的运动用自然法表示，动点

5、M在轨迹上的位置由动点到原点的弧长s来确定，称为动点M的弧坐标。当动点M运动时，s随时间而变化，是时间的单值连续函数，即上式称为点沿轨迹的运动方程若以τ表示切线的单位矢量，n表示主法线的单位矢量，以b表示副法线的单位矢量，其方向由右手螺旋法则确定，即2．自然轴系以点M为原点，切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系。过点M并与切线垂直的平面称为法平面，在法平面内过点M的所有直线都和切线垂直，都是法线，在密切面内的那条法线称为主法线。法平面内过点M与主法线垂直的法线称为副法线。3．点的运动速度点的速度v是一个矢量，它的方向沿轨迹的切线，如图所示。显然,可将动点

6、的速度矢写成如下的形式速度的大小等于弧坐标对时间的一阶导数，即如果ds/dt>0，则速度与τ的正向相同，弧坐标随时间而增大。反之，速度与τ的正向相反。4．点的运动加速度速度对时间求一阶导数，得右边两项分别称为切向加速度和法向加速度。前者表示速度大小变化对加速度的贡献，而后者是速度方向变化对加速度的贡献。。曲率（曲率半径的倒数）的定义为由上图可知即因而这样法向加速度可写为由此可见，法向加速度的大小等于点的速度平方除以曲率半径，方向与主法线的方向一致，指向轨迹的曲率中心。按以上分析，加速度可以写为加速度的大小可写为，其方向由a与主法线方向n的夹角θ来确定，它的正切为【例6-1】半径为r的圆轮

7、沿水平直线轨道滚动而不滑动，轮心C则在与轨道平行的直线上运动。设轮心C的速度为一常量vC,试求轮缘上一点M的运动轨迹、速度和加速度。解：以点M第一次和轨道接触的瞬时作为时间的起点，并以该接触点作为坐标的原点，建立Oxy坐标系，点M的坐标为这就是点的运动方程，其运动的轨迹为摆线(或称旋轮线)。动点的速度为此时，速度的大小和方向分别可写为动点的加速度为加速度的大小和方向分别可写为，可见，动点M的加速度方向指向轮心C【例6-2】已知弧BC