定积分教（学）案

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1、《数学分析》之九第九章定积分（14+4学时）教学大纲教学要求：1．理解Riemann定积分的定义及其几何意义2．了解上和与下和及其有关性质3．理解函数可积的充要条件，了解Riemann可积函数类4．熟练掌握定积分的主要运算性质以及相关的不等式5．了解积分第一中值定理6．掌握变上限积分及其性质7．熟练掌握Newton-Leibniz公式，定积分换元法，分部积分法教学内容：问题的引入（曲边梯形的面积及变速直线运动的路程），定积分定义，几何意义，可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充分条件，可积函数类，定积分的性质，积分中值定理，微积分学基本定理，牛顿一莱布尼兹公式，定积

2、分的换元法及分部法。第页28时间---------月---------日星期-----------------课题§1定积分概念（2学时）教学目的知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；教学重点深刻理解并掌握定积分的思想教学难点理解并掌握定积分的思想，理解定积分是特殊和式的极限课型理论讲授教学媒体教法选择讲练结合教学过程教法运用及板书要点复习极限的定义，极限的唯一性定理；导数的引入例子及其物理意义；不定积分概念，及其与导数运算的性质；定积分是特殊

3、和式的极限一、问题背景：1.曲边梯形的面积:思想：以“不变”代“变”：方法：分割；近似；求和；取极限设函数在闭区间上连续，且。则由曲线，直线，以及轴所围成的平面图形（如下左图），称为曲边梯形。下面将讨论该曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形的面积的基础）。在区间内任取个分点，依次为它们将区间分割成个小区间，。记为，即，。并用表示区间的长度，记，再用直线，把曲边梯形分割成个小曲边梯形（如上右图）。在每个小区间，上任取一点，，作以为高，为底的小矩形，其面积为，当分点不断增多，又分割得较细密时，由于连续，它在每个小区间上的变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的小曲边

4、梯形的面积。于是，该曲边梯形面积的近似值为此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页第页28。从而。2.变力所作的功:思想：以“不变”代“变”：方法：分割；近似；求和；取极限变力所作的功W设质点受力F的作用沿轴由点移动到点，并设F处处平行于轴（如下图），同上述，有，而根据上述两个例子建立数学模型对于函数，按照上述方法，讨论“极限”方法：分割；近似；求和；取极限二、定积分的定义:3.有关概念：分割；分割T的模积分和（黎曼和）；可积，黎曼可积，被积函数，积分变量，积分区间，积分上限、积分下限函数，方法：分割；近似；求和；取极限定义设是定义在[]上的一个函数，对于[]的一个分

5、割，任取点，，并作和式。称此和式为在[]关于分割T的一个积分和，也称黎曼和。（注：积分和既与分割T有关，也与点的取法有关）。又设是一个确定的实数，若对任给的，总存在，使得对[]的任意分割T，以及，，只要，就有第页28。则称函数在[]上可积或黎曼可积。数称为函数在[]上的定积分或黎曼积分，记作：其中称为被积函数，称为积分变量，[]称为积分区间，称为被积式，分别称为积分的下限和上限。定积分的几何意义；连续函数定积分存在（见定理9.3）三、举例:例1 已知函数在区间上可积.用定义求积分.解取等分区间作为分法取.=.由函数在区间上可积,每个特殊积分和之极限均为该积分值.例2 已知

6、函数在区间上可积,用定义求积分.解分法与介点集选法如例1,有.上式最后的极限求不出来,但却表明该极限值就是积分28.四、小结：指出本讲要点定积分的概念（几何意义）；定积分的问题背景；若定积分存在，按定义计算定积分的值时，分割与介点的选取，可取特殊点，解题步骤（回顾例1）。作业：课后1.2.（1）（2）此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页28时间---------月---------日星期-----------------课题§2Newton—Leibniz公式（2学时）教学目的深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.教学重点能够熟

7、练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分教学难点应用定积分计算形式的极限课型理论课教学媒体教法选择讲练结合教学过程教法运用及板书要点一、复习定积分的定义，分割；积分和（黎曼和）；极限存在（可积）；定积分的几何意义；注：定积分的值只与被积函数及积分区间[]有关，而与积分变量所用的符号无关。二、定积分的计算（1），按定义计算（2）应用下列定理Th9.1（N—L公式）若函数在【a，b】上连续，且存在原函数，即，则在【a，b】上可积，且这个公式称作（N—L公式）(证明思路函数函数在【a，b】上连续，则一致连续)（根据定积分定义与极限定义证