分类讨论思想在高中数学解题中的应用

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1、分类讨论思想在高中数学解题中的应用摘要：分类讨论思想是一种比较常用的数学思想，目前被广泛应用于高中数学解题中。在高中数学解题过程中应用分类讨论思想，可以将题目研究对象进行分解，将复杂的题目简单化，降低题目难度，帮助发展学生的思维。主要探讨分析了分类讨论思想在高中数学解题中的实际应用，希望为高中学生提供一些参考。关键词：高中数学;分类讨论思想;分类标准分类讨论思想是高考七大数学思想方法之一，它是解决问题的一种逻辑方法，这种思想在简化研宄对象、发展思维方面起着重要作用，高考将分类讨论思想的考查放在比较重要的位

2、置，并以解答题为主进行考查。分类讨论思想实际上也是“化整为零，各个击破”的教学策略。分类讨论思想不仅有利于提高学生的归纳、总结水平，同时也有利于提高学生的概括性、条理性、逻辑性，这对于培养学生的严谨思维、逻辑思维都具有极其重要的现实意义。高中生如果能很好地掌握分类讨论思想，可以大大提高学生的数学解题能力，提高学生的数学成绩。一、分类讨论思想的基本概述及其在数学解题中的作用我们在解决某些数学问题时，常常会遇到这样一种情况：解到某一步后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的。当被研究的问题包含了多种情况，就必

3、须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研宄，这就是分类讨论思想方法。分类讨论思想通常以概念的划分、集合的分类为基础，主要有以下几个方面：一是分类意识，即什么情况下需要分类;二是如何分类，即要科学地分类，分类要标准统一，不重不漏。三是分类之后如何科学地研宄;四是如何合理地整合。通过分析、总结历年来的高考考点，可以看出分类讨论的数学方法是其中的一个重要知识点。这主要是因为分类讨论方法可以很好地锻炼学生的逻辑思维，这对于解决其他的实际问题也非常必要。而且一般

4、分类讨论问题的综合性较强，这样考查考生多方面的知识，评估学生的实际学习能力。其次，掌握分类讨论思想，有利于更好地解决实际问题，比如数学概念中会有分类讨论的问题，包括等比数列前n项和公式、绝对值定义等;数学运算公式中有不等式两边同时乘以一个实数后对于不等号方向有何影响、偶次方根非负等;参数变化中参数取值不同导致结果不同;参数值不同采用不同的证明方法或者求解方法等。这些问题都必须采用分类讨论思想解决。二、分类讨论思想在高中数学解题中的实际应用1.科学、合理分类分类讨论思想的第一步是对问题中的对象进行分类，如果

5、将问题比喻成一个集合A的话，则就是指应该将A划分成Al、A2、A3、A4等n个非空真子集，其中n肯定超过2个(包括2)，集合A中的每一个元素都属于其中的一个子集。想要确保分类的科学性，首先一定要保证分类上不能出现遗漏，然后要保证分类上不能出现重复。在确保做到不重不漏的前提下，结合题目的性质以及题目中给出的条件尽量减少分类。2.确定分类的标准高中数学解题中采用分类讨论的方法，在确定分类讨论对象后，应该思考分类标准，分类标准是解题中的关键环节，决定了解题的简易程度。下面主要从以下几个角度确定分类标准：(1)按

6、照数学概念划分在数学中，有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念等。例1.求解y=x+l+X-2-2这个函数的值域。上述函数的零点值为-1和2，因此应该分别以这两个零点值进行分类，把定义域划分成xe(-00，_1)、[_1，2]、[2,+-)三段进行讨论，结果可以求出：①若xe(-⑺，-1)，则函数为y=-2x-l。②若xe[-l，2],则函数为y=l。③若xE[2，+°°),则函数y=2x-3。最后将以上三种情况的结论综合起来就可以得出这道题的答案：y=-2x-l(xO)o通过分段函数图象得出这个函数的值

7、域应该是[1，+°°)。(1)按照数学运算法则和定理、公式划分高中数学有很多数学运算法则和定理、公式是分类给出的，例如等比数列的求和公式就分为q=l和q两种情况;指数、对数函数的单调性就分为a〉l，01，al，A=0，A本例中两处用到分类讨论的思想，是一道典型的讨论题。(2)按照图形位置的划分图形位置的相对变化也会引起分类，例如，两点在同一平面的同侧、异侧，二次函数的图象的对称轴相对于定义域区间的不同位置等。例3.已知圆A的方程式是(x-2)2+(y-3)2=1现在想要求解一条切线1使得这个圆A和x、y轴

8、的截距相等。解：假如，这条切线1和x轴的截距是a，这条切线1和y轴的截距是b，结合直线方程的适用范围考虑，一定要讨论截距a、b是不是会变成0。为此就应该分为以下两种情况进行讨论：(1)按照题目的特殊要求划分一些题目，如排列组合的计数问题、概率问题，要按题目的特殊要求，分成若干情况研宄。例4.如上图所示，在排成4X4的方阵的16个点中，中心位置在4个点在某圆内，其余12个点在圆外，从16个点中任选3点作为三角形的顶点，其中至少有