面积在数学证明中应用

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1、面积在数学证明中的应用杨才（西北师范大学数学与应用数学,甘肃兰州730070）摘要:面积在生活中有如此多的用途,那么面积在数学证明中有没有什么作用？其实,早在千百年前,我国古代数学家刘徽、赵爽等人就已经运用面积证明数学中的难题.刘徽在求圆面积时,运用了圆面积的无限分割方法和极限思想,在求圆周率时,刘徽运用割圆术推导出刘徽不等式,其求得的结果远比阿基米德的精密.赵爽利用面积割补法证明了勾股定理,现在,中学生在证明题中也经常用到面积法,可见,面积在数学证明中的作用是无可厚非的.关键词:面积；证明；数学在生活中的应用一

2、刘徽的割圆术在解决求圆周长、圆面积、球体积等类问题的时候,经常要用到圆周率.圆周率可以表示成无限不循环小数3.1415926535……近代数学已经证明,圆周率是一个不能用有限次加减乘除和开各次方等代数运算算出来的数,就是所谓“超越数”.中国在两汉之前,一般采用的圆周率是“周三径义”,也就是=3.很明显,这个数值非常粗糙,用它进行计算会造成很大的误差.随着生产和科学的发展,“周三径义”就越来越不能满足精确计算的要求.因此,人们开始探索比较精确的圆周率.例如,据公元一世纪初制造的律嘉量斜（一种圆柱形标准量器）推算,它

3、所取得圆周率是3.1547.公元二世纪初,东汉天文学家张衡在《灵宪》中取≈3.1466,又在球体积公式中取≈3.1622.三国时期吴人王蕃（28—266）在浑仪论说中取≈3.1556.上述这些圆周率近似值,比起古率“周三径一”,精确度有所提高,其中圆周率值还是世界上最早的记录.但是这些数值大多是经验结果,还缺乏坚实的理论基础,因此,研究计算圆周率的科学方法仍然是十分重要的工作.古希腊的科学家、数学家阿基米德（Archfiends,前287—前212）和我国魏晋时期的杰出数学家刘徽都研究过圆面积计算公式和圆周率.刘

4、徽在为古代数学名著《九章算术》作注的时候,正确地指出,“周三径一”不是圆周率值,实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值.用古法计算圆面积的结果,不是圆面积,而是园内接正十二边形面积.经过深入研究,14刘徽发现园内接正多边形边数无限逼近圆周长,从而创立割圆术,为计算圆周率和圆面积建立起相当严密的理论和完善的算法.我们先来看看他们各自所得的结论,再来分析他们所采用的方法.阿基米德在《圆的度量》中,提出了三个问题:1．圆面积计算公式S=Lr,其中L为圆周长,r为圆半径；2．圆与其外切正方形面积之比为11:14；3．圆周

5、率:3<<3刘徽在《九章算术》方田章圆田术注中,得出三个结论:1．圆面积计算公式S=Lr（与阿基米德德命题完全一样）2．圆与其外切正方形面积之比为3927:5000；3．圆周率:<<不难看出,上述结果都与圆周率有关,他们的第一个结论中,若取=1,则S=；第二个结论实质上应该是:4；第三个结论,无疑给出了的近似取值范围.相比之下,刘徽的结果比阿基米德的精密,原因何在？正是获得上述结论的方法——割圆术有所不同.阿基米德用归谬法证明他的圆面积计算公式:如图1,不妨设圆面积为P直角三角形面积为K,圆内接正多边形面积为s,

6、圆外切正多边形面积为S.KrL图1.1⑴假设P>K,且P-K=X,可得s,使P-s>P-K,从而s>K;另一方面,圆内接正多边形周长小于L,圆心到各边距离也小于r,故sK,矛盾.由⑴、⑵可知P=K.刘徽推导圆面积计算公式,从圆内接正六边形开始,如图1.2,他认为,以圆内接正六边形边长乘以半径,再3倍,得到圆内接正12边形面积；以圆内接正12边形边长乘以半径,再6倍,得到

7、圆24边形面积按照这样成倍增加的分割下去,若分割的次数越多,被分割的圆弧和所对应的正多边形的边就越短.若使边数成倍的增加下去,则圆内接正多边形的面积与圆面积的差越小.按照上述方法,若分割次数无限增加时,则正多边形势必与圆重合.如此,正多边形面积就与圆面积相等,而“无所失矣”.也就是说,当分割次数无限增加时,园内接正多边形面积的极限就是圆面积.若用近代符号表示就是:当n→∞时,

8、

9、<.或

10、

11、=0即oDABC图1.2图1.3如图1.3,在圆内接正多边形任一边AB之外,尚有余径CD；正多边形一边AB与余径CD所组成的矩

12、形有一部分图形落于圆外；也即正多边形面积与这些矩形面积之和大于圆面积.当边数无限增倍时,院内接正多边形的边纠逐渐减小,即“斛之细者”.“斛之细者”势必与圆重合.此时,正多边形的边心矩与圆半径相等而无差别,则形外无忧所谓余径了.在正多边形之外无有余径,则其图形不可能落于圆外；其面积也不可能大于圆面积.根据前面可知,圆内接正十二边形面积为:圆内接正二十四变形面积为:14依次类