浅谈面积关系在中学数学中的应用

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1、浅谈面积关系在中学数学中的应用朱海娟贵州电视广播大学，数学与应用数学，邮编565200摘要：利用图形的面积关系可以解决中学数学在一些比较难的问题，它不仅是几何中解决计算问题的工具，而且有些代数问题中也有着巧妙的应用，也是生活中的适用工具，为开创解决数学问题的新空间起到了良好的媒介作用。本文就面积关系在几何证明题、代数证明题以及概率题、定积分及面积的求法等方面的应用，浅谈面积关系在中学数学中的运用，希望能起到抛砖引玉的作用。关键词：面积关系媒介作用Abstract:Maysolvethemiddleschoolmathe

2、maticsusingthegrapharearelationsinsomequitedifficultquestion,itnotonlyisinthegeometrysolvestheestimationproblemtool,moreoverinsomealgebraquestionalsohastheingeniousapplication,playedthegoodmediumroleforthefoundationsolutionmathematicsquestionnewspace.Thisarticle

3、onthearearelationsingeometryaspecttheandsoonprooftopic,algebraprooftopicaswellasprobabilitytopicapplication,hopedcanplaytherolewhichoffersafewordinaryintroductoryremarkssothatothersmayoffertheirvaluableideasKeyword:Arearelationsmediumfunction引言：面积关系的理论依据是：整个图形的面

4、积等于其各部分面积之和；两三角形等底时，面积比等于高之比；两三角形等高时，面积比等于底之比；两三角形相似时，面积比等于相似比的平方等等。勾股定理是我国古代文化的伟大成就，是极其重要的定理，它揭示了直角三角形的三边之间平方关系，对于一些与直角三角形面积有关的问题运用勾股定理求解方便快捷微积分是一门伟大的学科用微积分求解函数图像构成的面积非常方便，用面积关系解题，可以不作辅助线，或少作辅助线，方法很多，如转化法、和差法、重叠法等等方法，相对来讲，都是将已知和未知纳入一个系统来考察相互关系，从而达到化繁为简的目的。一、面积关

5、系在几何证明题中的应用几何学的产生，源于古人们测量土地面积的需要．面积不仅是几何学研究的一个重要内容，而且也是用来研究几何学的一个有力工具．例1、如图1，用表示内一点到三边的距离为分别表示其对应高。求证：为定值。分析：本题虽然可通过作辅助线根据相似形的相似比进行推理证明，但其过程之庸长让人难以接受，所以要求我们另相办法，通过思考我们应该发现与分别是△ABC和△BPC的高而且这两条同底，于是可以将它们的比用这两个三角形的面积比来表示。其它两个比类同。证明：∵且，AA∴,同理有和，XhX图1BC故为定值1说明：本例的结论很

6、重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决．BBCACBCADBCAABCAFBCAEBCA例2、已知△ABC的三条高的比是3∶4∶5，且三边长均为整数，则△ABC的边长可能是（）A、10B、12C、14D、16图2分析：本题已知三角形三高的比求三边长，图2由于三角形的面积就等于边与这边上的高的积的一半，这样才与边发生联系，显然应与三角形的面积联系起来考虑。解：依题意作图（如图2）设△ABC的高分别为AD、BE、CF、且设AD∶BE∶CF=3∶4∶5，若AD+BE+CF=，则有AD=，BE=，

7、CF=，又∵设，则，，，于是BC∶AC∶AB=∶∶又∵BC、AC、AB均为整数，则必为3、4、5的最小公倍数，取，∴BC=20，AC=15，AB=12，∴AB=12符合题目答案B，故应选B。例3、如图3，ABCD是面积为１的正方形三角形DPC为正三角形，则三角形BPD的面积为PBA（A）（B）　　　　　　　　　　OCD（C）（D）　　　　　　　　　　　　　图3解：分析边AC交BD于O连OP则PO∥BC据等积定理　一、面积关系在代数中的应用（整体构形）(一）面积关系在代数证明中的运用。古老的勾股定理的证明方法须已多达几百

8、种，但其中最简单的证明方法是面积关系，根据定理，我们不难做Ｒt△ABC和正方形CDFH：（图1）a也不难证明≌≌≌，HFGbc即它们的面积都相等，同时也不难证明：图中的AaCDBEbacb000000cb000000c小四边形ABEG也是正方形，于是由得∴这样将几何证明问题转化为代数变形问题，这就是面积关系的主要优势，也就容易得出