1-2概率的定义与性质

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1、事件：是否发生——随机性发生的可能性是可以度量的——规律性问题：一次试验中，事件发生的可能性究竟有多大？如何确定？§1.2概率的定义与性质的频率，记作。m称为频数。显然一、概率的统计定义频率：若事件A在n次重复试验中发生了m次，则称比值为事件A在n次重复试验中发生例掷一枚均匀硬币，设A={出现正面},考察404020480.5069试验者总次数n频数m频率204810610.5181200060190.501624000120120.500530000149940.4998可见，随着投掷次数n的增大，出现正面和反

2、面试验的次数正面/试验次数1.000.000.250.500.750255075100125的频率稳定在1/2左右。概率的统计定义：在大数次重复试验中频率的稳定值称为事件的概率，记作P(A)。对必然事件Ω,上述例中，对不可能事件,1、古典概型若随机试验满足：(1)有限性——基本事件的个数为有限个，(2)等可能性——每个基本事件发生的可能性相等，即称这种等可能模型为古典概型。二、概率的古典定义即概率的古典定义：在古典概型中，若基本事件总数为n,事件A所含基本事件数为，则也称为A的有利事件数。显然有P(A)=事件A所

3、包含的基本事件数基本事件总数【例1】掷一枚均匀骰子，设A={出现偶数点}。试验1：观察点数试验2：观察点数的奇偶性注意:随机试验不同，Ω也不同。求一个事件的概率，可以在不同的Ω中进行，关键是基本事件总数和有利事件数须在同一个Ω中计算。Ω＝{1,2,3,4,5,6},A={2,4,6}【例2】从6个男人，9个女人中选出5个人组成一委员会，若选择是随机的，那么委员会正好由3个男人【解】设A={委员会正好由3男2女组成}【例3】把10本书随意地放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率。【解】设A={指定的5本书放在

4、一起}和2个女人组成的概率是多少？【例4】将三封信随机地投入四个邮筒中，求下列事件的概率A={指定的三个邮筒中各有一信}B={任意的三个邮筒中各有一信}C={某个指定的邮筒是空的}一般地，将n个物品随机地放入N个容器中去，求有关事件的概率，是古典概型中的一个典型问题——分房问题。【例5】如果一手5张扑克牌有连贯的点数但不是同一花色，就称为一个顺子，求发到的一手牌是顺子的概率。【解】设A={发到的一手牌是顺子}发牌所有可能结果共有种。发到A、2、3、4、5(不管花色)的可能结果有，去掉花色相同的4种，所以共有－4种

5、。故顺子总数同样发到10、J、Q、K、A的可能结果也有－4种。为10(－4)种。2、几何概型A若将事件“点落入区域A中”记为A,则由于=1从而子区域，面积为。现往Ω中随机地投点，若点落设平面区域Ω的面积为，A为Ω中任意一个形状无关，则认为投点是等可能的。这类概率模型入A中的可能性大小与成正比，而与A的位置及称为几何概型。一般地，若试验的基本事件有无穷多个，但是可用某种几何测度(如长度、面积、体积)来表示其总和，设为S，并且其中的一部分，即随机事件A所包含的基本事件数，也可用同样的几何测度来表示，设为s,则事件A的

6、概率定义如下：几何概率【例6】(会面问题)甲、乙两人约定7点到8点在某地会面，并规定先到者应等候另一个20分钟，若超过20分钟对方仍未到达就离去不再等候,求两人能会面的概率(假定两人在7点到8点的任一时刻到达预定地点是等可能的)。【解】设甲、乙两人分别于7点x、y分到达，则x,y可取区间[0,60]内的任一值，即xy60602020而两人能会面的充要条件是即【例7】(浦丰投针)1777年，蒲丰(Buffon，1707-1788，法国自然科学史学家、数学家、博物学家)提出著名的投针问题：将长为l的一枚针随机地投掷到

7、一张划有间距都等于的很多条平行线的水平纸面内，蒲丰指出了该枚针与纸面内任一条平行线相交的概率为．试证明蒲丰的这个结论．(书P8)【证明】以x表示随机掷出的针的中点到离它最近一条平行线的距离，以表示该针与平行线的夹角xx0三、概率的公理化定义及性质的随机事件A1,A2,…,An,…,有则称P(A)为事件A发生的概率。1、定义设试验的样本空间为Ω，对试验的任一随机事件A,定义实值函数P(A)，如果它满足以下三条公理:公理1(非负性);公理2(规范性)P()=1；公理3(可列可加性)对于可列无穷多个互不相容概率的公理

8、化定义：(1)不可能事件的概率为0，即　　　　。2、概率的性质(2)(有限可加性)若n个事件A1,A2,…,An互不相容，则推论：若n个事件A1,A2,…,An互不相容且，则有常用地,P(A)=1－P(A)常用地,若AB=，则P(A+B)=P(A)+P(B)【例1】盒中有6只灯泡，其中有2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取1只,试求下列事件的概率：A={取到的