2012届高三理科数学圆锥曲线与方程总复习

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1、2012届高三理科数学圆锥曲线与方程总复习2012届高三理科数学圆锥曲线与方程总复习　　第九章　圆锥曲线与方程　　高考导航　　考试要求重难点击命题展望　　1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；　　2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；　　3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；　　4.了解圆锥曲线的简单应用；　　5.理解数形结合的思想；　　6.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.　　本章重点：1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准

2、方程及简单性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系问题；3.求曲线的方程或曲线的轨迹；4.数形结合的思想，方程的思想，函数的思想，坐标法.　　本章难点：1.对圆锥曲线的定义及性质的理解和应用；2.直线与圆锥曲线的位置关系问题；3.曲线与方程的对应关系.　　圆锥曲线与函数、方程、不等式、三角形、平面向量等知识结合是高考常考题型.极有可能以一小一大的形式出现，小题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法运用；解答题常作为数学高考的把关题或压轴题，综合考查学生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等方面的能

3、力.　　知识网络　　　　　9.1　椭　圆　　典例精析　　题型一　求椭圆的标准方程　　【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为453和　　253，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.　　【解析】由椭圆的定义知，2a＝453＋253＝25，故a＝5，　　由勾股定理得，(453)2－(253)2＝4c2，所以c2＝53，b2＝a2－c2＝103，　　故所求方程为x25＋3y210＝1或3x210＋y25＝1.　　【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不

4、确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)；　　(2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.　　【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：　　据此，可推断椭圆C1的方程为　　　.　　【解析】方法一：先将题目中的点描出来，如图

5、，A(－2,2)，B(－2，0)，C(0，6)，D(2，－22)，E(22，2)，F(3，－23).　　通过观察可知道点F，O，D可能是抛物线上的点.而A，C，E是椭圆上的点，这时正好点B既不在椭圆上，也不在抛物线上.　　显然半焦距b＝6，则不妨设椭圆的方程是x2m＋y26＝1，则将点　　A(－2,2)代入可得m＝12，故该椭圆的方程是x212＋y26＝1.　　方法二：欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些.　　不妨设有两点y21＝2px1，①y22＝2px2，②y21y22＝x

6、1x2，　　则可知B(－2，0)，C(0，6)不是抛物线上的点.　　而D(2，－22)，F(3，－23)正好符合.　　又因为椭圆的交点在x轴上，故B(－2，0)，C(0，6)不可能同时出现.故选用A(－2,2)，E(22，2)这两个点代入，可得椭圆的方程是x212＋y26＝1.　　题型二　椭圆的几何性质的运用　　【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.　　(1)求椭圆离心率的范围；　　(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.　　【解析】(1)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2

7、＝1(a＞b＞0)，

8、PF1

9、＝m，

10、PF2

11、＝n，在△F1PF2中，　　由余弦定理可知4c2＝m2＋n2－2mncos60°，　　因为m＋n＝2a，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，　　所以4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.　　又mn≤(m＋n2)2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)，　　所以4a2－4c2≤3a2，所以c2a2≥14，　　即e≥12，所以e的取值范围是[12，1).　　(2)由(1)知mn＝43b2，所以＝12mnsin60°＝33b2，　　即△F1PF2的面积只与椭圆

12、的短轴长有关.　　【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如

13、PF1

14、•

15、PF2

16、≤(

17、PF1

18、＋

19、PF2

20、2)2，

21、PF1

22、≥a－c.　　【变式训练2】已知P是椭圆x225＋y29＝1上