第二讲：主观概率

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1、第二讲：主观概率主要内容：1.概率的基本概念2.先验分布及其设定3.设定主观概率案例1.概率的基本概念1）概率（1）频率与概率为了描述随机事件发生的可能性大小，人们通常进行随机试验并观察试验结果。在相同条件下进行了n次试验，其中事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值称为事件A发生的频率，记作。即古典的概率（probability）的定义如下：（2）Laplace的概率定义Laplace（1812）把事件A发生的概率定义为：其中，k为事件A中所包含的基本事件数量，n为基本事件的总数。显然，上述定义的适用条件是

2、：①基本事件的数量有限，即试验的样本空间；②每个基本事件都是等可能的，即（3）概率的公理化定义Kormogorov在1930年的著作中给出的概率的公理化定义。定义2.1E是随机试验，S是E的样本空间，对E的每一事件A，对应有确定的实数p(A),若p(A)满足：①非负性：0≤p(A)≤1;②规范性：p(S)=1;③可列可加性：对两两不相容事件(两两不相容是指)，有则称为事件A发生的概率。以上所述的几种概率的定义中有一个共同的特点，这就是概率是在多次重复试验中，随机事件A发生的可能性的大小的度量。而在实际的决策问题中，

3、自然状态的概率往往无法通过重复试验求得，通常也并不包含等可能的基本事件。例如，在出门是否带伞的决策问题中可能会遇到明天是否下雨，项目申请问题中的中标可能性，以及在实际决策中经常遇到的明年国民经济增长率的分布、战争中对敌方下一步行动的估计等等这样广义的自然状态，这些状态或事件显然是无法重复试验的，其中也没有所谓的基本事件。有些问题虽然不是完全不能重复试验，但由于种种原因，实际上不能施行。例如洲际导弹的命中率，虽然在原则上可以通过相同条件下的重复试验获得，但是每次试验费用过于昂贵、代价过大，实际上不可能多次重复试验。在

4、以上各种情况下，前面提到的三种概率的定义均不适用。由于上述原因，需要有一种能在频率观点不适用、实际上无法进行随机试验时设定概率的方法，这就是主观概率（subjectiveprobability）；与此同时，把上面三种定义所规定的概率称为客观概率（objectiveprobability）。2）主观概率根据Savage（1954）的观点，主观概率是一种见解，是合理的信念的测度。它是某人对特定事件会发生的可能性的信念（或意见、看法）的度量，即他相信或认为事件将会发生的可能性的大小。这种相信的程度是一种信念，是主观的，但

5、又是根据经验、各方面的知识以及对客观情况的了解，利用相关信息进行分析、推理、综合判断而设定（Assignment）的，与主观臆测不同。例如，一个即将毕业的硕士生考虑下一步去向的时候，面临着就业还是继续深造（考博士生）的选择。而是否考博士生在很大程度上取决于被录取的可能性大小。这种考博被录取概率的设定显然是主观的，但也不是随意的、毫无根据的，获得的相关信息越多、越准确，设定概率也越可信。又比如掷硬币，稍有常识的人都知道，只要硬币是均匀的，无需多次重复试验，也能判断正面朝上的概率是二分之一。又如，抛一枚图钉，它落地并最

6、终静止时可能针尖朝上，也可能针尖朝下。要求一群学生估计针尖朝上的概率，虽然这些学生事先都没有抛过图钉，但是大部分学生都认为针尖朝上的概率大于二分之一，众数在0.55~0.7之间。许多人是凭直觉判断的。试验（抛掷1000次以上）的结果是针尖朝上的概率略大于0.6，也就是说，即使凭直觉也可以作出相当不错的概率估计。3）概率的数学定义定义2.2对非空集Ω=｛ω｝，F是Ω的子集A所构成的σ-域，即F满足如下条件：①Ω∈F；②若则；③若则。若是定在F上的实值集函数，它满足：①非负性；②规范性；③可列可加性，若为两两不相容事件

7、，则则称为事件A的（主观或客观）概率测度，简称概率。上述定义中，ω为基本事件，A为事件，三元总体（Ω，F，P）则称为概率空间。需要注意的是，定义2.2既适用于客观概率，也完全可用于主观概率，即两者有着完全相同的数学定义。因此，由客观概率论者发展起来的概率论的整套推理和计算方法，也都完全适用于主观概率。4）主客观概率的比较（1）基本属性客观概率论者（以下简记为O）认为：概率是系统的固有的客观性质，是在相同条件下重复试验时频率的极限。主观概率论者（以下简记为S）认为：概率是观察者而非系统的性质，是观察者对系统处于某状态

8、的信任程度。（2）抛硬币：正面向上概率为1/2。O：只要硬币均匀，抛法类似，次数足够多，正面向上的概率就会是1/2，这是简单的定义。S：这确是定义，决策人认为硬币是均匀的，正、反面出现的可能性(似然率)相同，是个主观的量。（3）下次抛硬币出现正面的概率是1/2。O：这种说法不对，不重复试验就谈不上概率。S：对决策人来说，下次出现正、反是等可能的。但这不是说硬