高一数学函数单调性考点解析及习题辅导

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1、第二章函数——函数的单调性高考要求了解函数单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法。会用函数单调性解决一些问题.知识点归纳函数的性质是研究初等函数的基石,也是高考考查的重点内容.在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫.复习函数的性质,可以从“数”和“形”两个方面,从理解函数的单调性定义入手,在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固,在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化.函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.函数y=f(x)在给定区间上的单调性,反映了函数在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,但不一定是函数在定义域上的整

2、体性质.函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.1.函数单调性的定义:2. 证明函数单调性的一般方法:①定义法:设;作差(一般结果要分解为若干个因式的乘积,且每一个因式的正或负号能清楚地判断出);判断正负号。②用导数证明:若在某个区间A内有导数,则在A内为增函数;在A内为减函数。3. 求单调区间的方法:定义法、导数法、图象法。4.复合函数在公共定义域上的单调性:①若f与g的单调性相同,则为增函数;地址中山北路28号江苏商厦7楼咨询电话:025-86997559②若f与g的单调性相反,则为减函数。注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集。5.一些有用的结

3、论:①奇函数在其对称区间上的单调性相同;②偶函数在其对称区间上的单调性相反;③在公共定义域内:增函数增函数是增函数;减函数减函数是减函数;增函数减函数是增函数;减函数增函数是减函数。 ④函数在上单调递增;在上是单调递减。题型讲解例1若y=log(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.[2,+∞)分析:本题存在多种解法,但不管哪种方法,都必须保证:①使log(2-ax)有意义,即a>0且a≠1,2-ax>0.②使log(2-ax)在[0,1]上是x的减函数.由于所给函数可分解为y=logu,u=2-ax,其

4、中u=2-ax在a>0时为减函数,所以必须a>1;③[0,1]必须是地址中山北路28号江苏商厦7楼咨询电话:025-86997559y=log(2-ax)定义域的子集.解法一:因为f(x)在[0,1]上是x的减函数,所以f(0)>f(1),即log2>log(2-a).解法二:由对数概念显然有a>0且a≠1,因此u=2-ax在[0,1]上是减函数,y=logu应为增函数,得a>1,排除A,C,再令a=3,则的定义域为,但[0,1]不是该区间的子集。故排除D,选B.说明:本题为1995年全国高考试题,综合了多个知识点,无论是用直接法,还是用排除法都需要概念清楚,推理正

5、确.例2(1)求函数的单调区间;(2)已知若试确定的单调区间和单调性.解:(1)单调增区间为:单调减区间为,(2),,令,得或,令,或∴单调增区间为;单调减区间为.地址中山北路28号江苏商厦7楼咨询电话:025-86997559例3设,是上的偶函数.(1)求的值;(2)证明在上为增函数.解:(1)依题意,对一切,有,即∴对一切成立,则,∴,∵,∴.(2)(定义法)设,则,由,得,,∴,即,∴在上为增函数.(导数法)∵,∴∴在上为增函数.例4函数在上是增函数,求的取值范围.分析:由函数在上是增函数可以得到两个信息:①对任意的总有;②当时,恒成立.地址中山北路28号江苏

6、商厦7楼咨询电话:025-86997559解:∵函数在上是增函数,∴对任意的有,即,得,即,∵,∴,∵,∴要使恒成立,只要;又∵函数在上是增函数,∴,即,综上的取值范围为.另解:(用导数求解)令,函数在上是增函数,∴在上是增函数,,∴,且在上恒成立,得.学生练习1.判断函数f(x)=ax/(x2-1)(a≠0)在区间(-1,1)上的单调性。2.已知函数f(x)=a(ax-a-x)/(a-2)(a>0,且a≠1)是R上的增函数,求a的取值范围。3.设函数f(x)=(a>0),求a的取值范围,使函数f(x)在区间[0,+¥)上是单调函数。地址中山北路28号江苏商厦7楼咨

7、询电话:025-869975594.函数y=的递减区间是5.求y=log0.7(x2-3x+2)的单调区间及单调性6.求y=8+2log0.5x-log0.52x的单调区间及单调性.7.函数y=lncos(x/3+p/4)的递减区间是8.函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,则a的取值范围是9.已知奇函数f(x)在定义域[-2,2]上递减,求满足f(1-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围。10.已知a>0,a≠1,有f(logax)=(1)求f(x)的表达式,并证明f(x)在(-¥,+¥)上是增函数;(2)求证:对于任意大于1的自然数n,f

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