4.1.2数学归纳法证明不等式(第2课时)

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1、金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com选修4-5学案§4.1.2数学归纳法证明不等式(2)姓名☆学习目标:1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;2.会运用数学归纳法证明不等式重点:应用数学归纳法证明不等式.☻知识情景:关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性:10.验证n取时命题(即n=时命题成立)(归纳奠基);20.假设当时命题成立,证明当n=k+1时命题(归纳递推).30.由10、20知,对于一切n≥的自然数n命题!(结论)要诀:递推基础,归纳假设,结论写明.☆数学归纳法的应用:例1.求证:,其中,且.第15页共

2、15页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com例2已知数列的各项为正,且.(1)证明;(2)求数列的通项公式.例3已知函数,数列满足:证明:(ⅰ);(ⅱ).例4等比数列{}的前n项和为,已知对任意的,点均在函数且均为常数)的图像上.(1)求r的值;(11)当b=2时,记证明:对任意的,不等式成立第15页共15页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com选修4-5练习§4.1.2数学归纳法证明不等式(2)姓名1、正数a、b、c成等差数列,当n>1,n∈N*且a、b、c互不相等时,试证

3、明:an+cn>2bn.2、正数a、b、c成等比数列,当n>1,n∈N*且a、b、c互不相等时,试证明:an+cn>2bn.3、若n为大于1的自然数,求证:.第15页共15页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com4、已知函数,设数列满足,满足(Ⅰ)用数学归纳法证明;(Ⅱ)证明.5、已知不等式为大于2的整数,表示不超过的最大整数.设数列的各项为正,且满足证明:6、已知曲线.从点向曲线引斜率的切线,切点为.(1)求数列的通项公式;(2)证明:.第15页共15页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.

4、jtyjy.com参考答案:1.关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性:10.验证n取第一个值时命题成立(即n=时命题成立)(归纳奠基);20.假设当n=k时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推).30.由10、20知,对于一切n≥的自然数n命题都成立!(结论)要诀:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.例1.求证:,其中,且.分析:此题是2004年广东高考数学试卷第21题的适当变形,有两种证法证法一:用数学归纳法证明.(1)当m=2时,,不等式成立.(2)假设时,有,则,∵,∴,即.从而,即时,亦有.由(1

5、)和(2)知,对都成立.证法二:作差、放缩,然后利用二项展开式和放缩法证明.∴当,且时,.例2第15页共15页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com已知数列(1)证明(2)求数列的通项公式an.分析:近年来高考对于数学归纳法的考查,加强了数列推理能力的考查。对数列进行了考查,和数学归纳法一起,成为压轴题。解:(1)方法一用数学归纳法证明:1°当n=1时,∴,命题正确.2°假设n=k时有则而又∴时命题也正确.由1°、2°知,对一切n∈N时有方法二:用数学归纳法证明:1°当n=1时,∴;2°假设n=k时有成立,令,在[0,2

6、]上单调递增,所以由假设有:也即当n=k+1时成立,所以对一切.(2)下面来求数列的通项:所以第15页共15页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com则又bn=-1,所以.本题也可先求出第(2)问,即数列的通项公式,然后利用函数的单调性和有界性,来证明第(1)问的不等式.但若这样做,则无形当中加大了第(1)问的难度,显然不如用数学归纳法证明来得简捷.例3已知函数,数列{}满足:证明:(ⅰ);(ⅱ).证明:(I).先用数学归纳法证明,n=1,2,3,…(i).当n=1时,由已知显然结论成立.(ii).假设当n=k时结论成立,

7、即.因为00成立.于是.第15页共15页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com故.点评:不等式的问题常与函数、三角、数列、导数、几何等数学分支交汇,综合考查运用不等式知识解决问题的能力,在

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