高考数学（四海八荒易错集）-专题10 数列求和及其应用 文

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1、专题10数列求和及其应用1．已知数列{an}的通项公式为an＝，其前n项和为Sn，若存在M∈Z，满足对任意的n∈N*，都有Sn

2、1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：＋＋…＋＝an＋n2，求数列{bn}的前n项和Sn.解　(1)∵a3＋a5＝a2＋a6＝14，a3a5＝45，∴a3＝5，a5＝9或a3＝9，a5＝5，14∵d>0，∴a3＝5，a5＝9，∴⇒a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.(2)由＋＋…＋＝an＋n2，得＋＋…＋＝2n－1＋n2，＋＋…＋＝2(n－1)－1＋(n－1)2(n≥2)，两式相减得＝2n＋1，∴bn＝2n(2n＋1)(n≥2)，又＝a1＋1，∴b1＝4，∴bn＝记Tn＝b2＋b3＋

3、…＋bn，则Tn＝22×5＋23×7＋…＋2n(2n＋1)，2Tn＝23×5＋24×7＋…＋2n＋1(2n＋1)，两式相减得－Tn＝4＋2n＋1(1－2n)，则Tn＝2n＋1(2n－1)－4，∴Sn＝2n＋1(2n－1)．4．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝a(Sn－an＋1)(a为常数，且a>0)，且4a3是a1与2a2的等差中项．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解　(1)当n＝1时，S1＝a(S1－a1＋1)，所以a1＝a，当n≥2时，Sn＝a(S

4、n－an＋1)，①Sn－1＝a(Sn－1－an－1＋1)，②由①－②，得an＝a·an－1，即＝a，故{an}是首项a1＝a，公比为a的等比数列，所以an＝a·an－1＝an.故a2＝a2，a3＝a3.14由4a3是a1与2a2的等差中项，可得8a3＝a1＋2a2，即8a3＝a＋2a2，因为a≠0，整理得8a2－2a－1＝0，即(2a－1)(4a＋1)＝0，解得a＝或a＝－(舍去)，故an＝()n＝.5．Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超

5、过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1000项和．解　(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n.b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2.(2)因为bn＝所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.6．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn

6、}的通项公式；(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.解　(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，14当n＝1时，a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5.设数列{bn}的公差为d.由即可解得b1＝4，d＝3，所以bn＝3n＋1.(2)由(1)知，cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]．两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…

7、＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2.易错起源1、分组转化求和例1、等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.解　(1)当a1＝3时，不合题意；当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题

8、意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18，所以公比q＝3.故an＝2·3n－1(n∈N*)．(2)因为bn＝an＋(－1)nlnan＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln2＋(n－1)ln3]14＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3