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1、Ch22曲线积分与曲面积分计划课时：16时P263—2792002.11.15.279Ch22曲线积分与曲面积分(16时)§1第一型曲线积分与第一型曲面积分(3时)一.第一型线、面积分的定义:1.几何体的质量:已知密度函数,分析线段、平面区域、空间几何体的质量定义及计算2.曲线和曲面的质量:3.第一型线、面积分的定义:定义及记法.线积分,面积分.4.第一型线、面积分的性质:[1]P356二.第一型线、面积分的计算:1.第一型曲线积分的计算:回顾“光滑曲线”概念.Th22.1设有光滑曲线,.是定义在上的连续函数.则.(证)[1]P357若曲线方程为:,则.的方程为时有类似的公式.例1设是半圆周
2、,..[1]P358E1例2设是曲线上从点到点的一段.279计算第一型曲线积分.[1]P358—359E2空间曲线上的第一型曲线积分:设空间曲线,.函数连续可导,则对上的连续函数,有.例3计算积分,其中是球面被平面截得的圆周.[1]P359E3解由对称性知,,=.(注意是大圆)Ex[1]P361—3621，2.1.第一型曲面积分的计算:Th22.2设有光滑曲面.为上的连续函数,则.例4计算积分,其中是球面被平面所截的顶部.[1]P360E5Ex[1]P3624.§2第二型曲线积分(3时)一.第二型曲线积分的定义:1.力场沿平面曲线从点A到点B所作的功:先用微元法,再用定义积分的方法讨论这一问
3、题,得279,即.2.稳流场通过曲线(从一侧到另一侧)的流量:解释稳流场.(以磁场为例).设有流速场.求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E.设曲线AB上点处的切向量B为,(是切向量方向与X轴正向的夹角.切向量方向按如下方法确定:法线方向是指从曲线的哪一侧到哪一侧,在我们现在的问A题中是指从左侧到右侧的方向.切向量方向与法线方向按右手法则确定,即以右手拇指所指为法线方向,则食指所指为切线方向.).在弧段上的流量.,因此,.由,得.于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为.3.第二型曲线积分的定义:([1]P364)闭路积分的记法.按这一定义,有力场沿平面曲线从点A到点B所作的功为.流
4、速场在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为.279第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性.对二型曲线积分有,因此,定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场沿空间曲线AB所作的功.导出空间曲线上的第二型曲线积分.4.第二型曲线积分的性质:第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题.与我们以前讨论过的积分相比,除多了一层方向性的考虑外,其余与以前的积累问题是一样的,还是用Riemma的思想建立的积分.因此,第二型曲线积分具有(R)积分的共性,如线性、关于函数或积分曲线的可加性.但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性,这是由于一方面向量值函数不
5、能比较大小,另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关.二.第二型曲线积分的计算:曲线的自然方向:设曲线L由参数式给出.称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.设L为光滑或按段光滑曲线,L:.A,B;函数和在L上连续,则沿L的自然方向(即从点A到点B的方向)有.(证略)例1计算积分,L的两个端点为A(1,1),B(2,3).积分从点A到点B或闭合,路径为ⅰ>直线段ABⅱ>抛物线;279ⅲ>A(1,1)D(2,1)B(2,3)A(1,1),折线闭合路径.[1]P367E1例2计算积分,这里L:ⅰ>沿抛物线从点O(0,0)到点B(1,2);ⅱ>沿直线从点O(0,0)到点
6、B(1,2);ⅲ>沿折线闭合路径O(0,0)A(1,0)B(1,2)O(0,0).[1]P368E2例3计算第二型曲线积分I=,其中L是螺旋线,从到的一段.[1]P369E3例4求在力场作用下,ⅰ>质点由点A沿螺旋线到点B所作的功,其中L:,.ⅱ>质点由点A沿直线L到点B所作的功[1]P369E4Ex[1]P3711，2，3.§3Green公式曲线积分与路径无关性(4时)一.Green公式:闭区域的正面与边界正向的规定搭配:右手螺旋定向,即以右手拇指表示区域的正面(理解为拇指“站立在”区域的正面上),则其余四指(弯曲)表示边界的正向.右手螺旋定向法则还可表述为:人站立在区域的正面的边界上,让
7、区域在人的左方.则人前进的方向为边界的正向.参阅[1]P372图22—8.若以L记正向边界,则用—L或L表示反向（或称为负向）边界.1.Green公式:Th22.3若函数P和Q在闭区域DR上连续,且有连续的一阶偏导数,则有279,其中L为区域D的正向边界.(证)[1]P373Green公式又可记为.1.应用举例:对环路积分,可直接应用Green公式.对非闭路积分,常采用附加上一条线使变成环路积分的技巧.例1计
