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1、由数学史案例渗透数学哲学、教育思想的研究 数学知识呈现静态的和绝对可靠的特性,同一性原理体现事物只意味着它自己,它是逻辑学或精确科学的核心思想,它与进化的观点有明显矛盾。P=P,这里没有论证或历史考查,不涉及到心理学或哲学上的考虑,数学在这里是不变和绝对的,社会学和社会文化的历史很少顾及它们的存在。在这种情况下数学家们的多次宣称,数学没有值得人们知道的历史。 1数学哲学指导的数学史 有人认为在某种程度上数学史是一种教条和闲谈,这种教条排除了可供选择的数学观点和立场,而把闲谈归类为脱离记录的私人沉思。若用这种方式理解数学,只能把它看成是一种
2、终结的理论和完成的工作,这只能作为独特的现实呈现形式,与人类情感活动没有任何关系。此种观点是错误的,比如对没有解决问题的思考等,那些重大的数学问题和它们的研究过程在数学史中占最大的部分,虽然它对于学生创造力的激励和真理精神的追求几乎没有帮助,但这种数学的历史观点对创造力和追求真理的精神是很重要的。 因为连续性与绝对严密之后的一种错觉在有关的实践方面没有被人们很好的理解,所以这种研究的主题被逐渐放弃了。连续性是理想状态,不具有自然统一性,对于变化的构想都要有建设性的努力才可达到,并且要有认识论的观点做支撑,这样给人们带来一种警示。对数学教条主义
3、与实证主义的消极作用是历史的考虑,试图把历史用作揭穿假设的手段,在这种假设下,合逻辑的数学的发展成为错觉,有的时候还会步入抽象的意识形态领域。 Valery说:“一个人有直接从活动方式中思考和联合的习惯,有只在眼前手段受限的情况下想象一个工作的习惯和从不着手处理来自一个与手段毫无关系的主题或想象的效果的工作的习惯。”所以只采取指出“人类”关心或感兴趣的数学问题,还说明不了历史的方法是正确的。而且要塑造对数学史极广泛的社会文化方法的范畴,使之对身边的数学问题和认知问题适用。 拉卡托斯说:“缺乏哲学指导的数学史,是盲目的,而背弃数学史里最有趣的
4、现象的数学哲学,也是无知的。”然而我们和拉卡托斯的观点不同,不能确信特殊的数学哲学是从历史里证明是无误的或存在历史进程的完整的理性重建。 如今有很多论战是关于提及数学客体的时单词“real”的用法,这些论战没有在历史研究中得到解决,甚至于不可能成为这些研究的方向。它的目的首先是描述和分析,而不是替哲学辩护。不同于教育家、哲学家、历史学家那样不可能集精力于辩护。“现实”就赋予文化意义上的负载,并且比重要信息或物体的集合一定要多。实证主义者对数学产生怀疑,是因为数学所研究的客体都不具备实质性的东西。 数学在认识论的转变中得以发展 在研究数学意
5、义发展和物质存在的问题时,我们确信这是需要并能解决的课题。为了解决这类课题,让学生体验概括和抽象的过程,而不是直接面对抽象的过程。 在19世纪的时候出现了一些问题,数学和它的物体也出现了一些关于它的新理论、新思想的变化。根据欧几里得公理化体系转化而成的集合论和形式公理学,它们的发展使数学变得越加抽象并且缺泛必要的解析。来自大范围远距离交流的必要性和抽象的纯数学的发展,这个历史事实显得非常古怪,它的符号形式既促进同时也阻碍了学习与交流,所以它遭到很大的讽刺。学生对此学习感到困难,尤其对我们的教育实践极为重要的概念解释更加困难,而现代数学没能在这
6、个意义上对所需的任何事物提供完整的解释,它们不是特别的假设与抽象,就是特别的技术与机械。所以不能把数学作为一个主题在校园里进行有实效的组织和追求。数学学习也要与其他学科相似,一定要对明晰根本性问题的广泛探究有帮助。 所以可以得出,由欧几里得公理化体系来讲,对其有意义的语句和可以理解的概念进行逻辑还原、组织与分析,好像留给我们思考的没有复原的基本工具,但这并不能说明我们都想回到过去的风格,而欧几里得数学方法的目的在于把一切事物都化简成基本数学。但不可否认的是现代数学在方法论和认识论上是被划分开来的。 关于数学和数学对象本质的本体论在认识论转变
7、的基础上得以巩固和发展。若我们想要把数学史用于教育来促进人的发展时,正确理解这些转变是很有必要的,下面用实例说明从机械论证到关系思维和从直接的方法到间接的方法这个认识论的转变过程。 利用数学看待和分析世界 在19世纪到20世纪数学在希尔伯特和皮亚诺的公理系统下出现了深刻的大变革,并已成数学史上最感兴趣的事情。数学在19世纪被看作是陈述必要结论的科学,据此数学可以完全不受存在主义的影响,可以说这是一个假说或是一种推理。在之前的公理系统就是不需要证明的,19世纪以后数学大厦的地基就变成了纯粹的臆测,只用他们可能的推论加以证明,数学涉及事物的理想
8、状态,它具有系统化和分析思想的方法,同时也是自我反思过程,数学在一定意义上讲也是元知识,但是皮尔斯与多数数学家和哲学家不同,连他本人都在否认数学的完全
