2019届河北省中考系统复习：第18讲相似三角形（8年真题训练）

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1、第18讲　相似三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　命题点　相似三角形的性质与判定1．(2017·河北T7·3分)若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比(D)A．增加了10%B．减少了10%C．增加了(1＋10%)D．没有改变2．(2011·河北T9·3分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．若A′为CE的中点，则折痕DE的长为(B)A.B．2C．3D．43．(2014·河北T13·3分)在

2、研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．　　　　　　　图1　　　　　　　　　　图2对于两人的观点，下列说法正确的是(A)A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对4．(2016·河北T15·2分)如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三

3、角形与原三角形不相似的是(C)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　重难点　相似三角形的性质与判定　在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠B.8(1)如图1，当射线DN经过点A时，DM交边AC于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形；(2)如图2，将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于点E，F(点E与点A不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；(3)在图2中，若AB＝AC＝10，BC＝12，当S△DEF＝S△

4、ABC时，求线段EF的长．【思路点拨】(1)由题意得AD⊥BD，DE⊥AC，可考虑从两角对应相等的两个三角形相似来探究；(2)依据三角形内角和定理及平角定义，结合等式的性质，得∠BFD＝∠CDE，又由∠B＝∠C，可得△BDF∽△CED；由相似三角形的性质得＝，进而有＝，从而△CED∽△DEF；(3)首先利用△DEF的面积等于△ABC的面积的，求出点D到AB的距离，进而利用S△DEF的值求出EF即可．【自主解答】解：(1)图1中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE.(2)△BDF∽△CED∽△DEF.证明：∵∠B＋

5、∠BDF＋∠BFD＝180°，∠EDF＋∠BDF＋∠CDE＝180°，又∵∠EDF＝∠B，∴∠BFD＝∠CDE.由AB＝AC，得∠B＝∠C，∴△BDF∽△CED.∴＝.∵BD＝CD，∴＝.又∵∠C＝∠EDF，∴△BDF∽△CED∽△DEF.(3)连接AD，过点D作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝BC＝6.在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2，∴AD＝8.∴S△ABC＝BC·AD＝48.S△DEF＝S△ABC＝12.又∵AD·BD＝AB·DH，∴DH＝4.8.∵

6、△BDF∽△DEF，∴∠DFB＝∠EFD.∵DG⊥EF，DH⊥BF，∴DH＝DG＝4.8.∵S△DEF＝EF·DG＝12，∴EF＝5.【变式训练1】(2018·杭州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．　　解：(1)证明：∵AB＝AC，BD＝CD，8∴AD⊥BC，∠B＝∠C.∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC.∴△BDE∽△CAD.(2)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.在Rt△ADB中，AD＝＝12，

7、∵AD·BD＝AB·DE，∴DE＝.基本图形(1)斜边高图形有以下基本结论：①∠BAD＝∠C，∠B＝∠DAC；②△ADB∽△CDA∽△CAB.(2)一线三等角有以下基本结论：①∠B＝∠C，∠BDE＝∠DFC；②△BDE∽△CFD.特殊地：若点D为BC中点，则有△BDE∽△CFD∽△DFE.“一线三等角”问题一般以等腰三角形、等边三角形、四边形、矩形、正方形为背景：图中相同标识符号的角相等，熟悉这些模型对解决三角形全等和相似的问题有很大帮助．【变式训练2】【分类讨论思想】在正方形ABCD中，AB＝4，点P，Q分别在直线CB与

8、射线DC上(点P不与点C，点B重合)，且保持∠APQ＝90°，CQ＝1，求线段BP的长．解：分三种情况：设BP＝x.①当P在线段BC上时，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°.∴∠BAP＋∠APB＝90°.∵∠APQ＝90°，∴∠APB＋∠CPQ＝90°.∴∠BAP＝∠CPQ，∴△AB