虹与霓的偏角

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1、虹與霓的偏角一、問題：設水珠半徑，折射率偏向角=在所有文獻(包括教科書)，都清楚的記載著，彩虹的色光與陽光之間的夾角約為40°～42°之間(視不同色光而異)。換句話說，即任何截距(與球心)色光在經水滴兩次折射一次反射的結果都有相同的偏角。這個推論不禁令人執疑，所以自己仔細地根據幾何光學的原理作圖，並以理論推算出虹色光偏角與截距的函數，如下：以幾何光學的公式為依據並由電腦輔助，仔細地製作出同一色光(黃色)經由水球一次內部反射後偏向角的分佈模擬圖形與函數分佈：結論實在令人感到疑惑、沮喪，因為與事實相去甚遠，如上圖所示單就同一色光幾乎從0°～42°都有可能，問題到底出在那裡呢

2、？二、推理：從上圖可知道同一色光的偏向角分佈的範圍非常廣，但因不同入射角，經由外折射、內反射、內折射三次篩選後，最後的剩餘能量，應該會有極大的差異，這也許就是主要原因？所以在大陸圖書光學傳感與測量(安毓英、曾小東所著)中尋找到理論基礎。若將水滴所吸收的能量忽略，則外反射率(由疏介質進入密介質)與內反射率的變化圖形如下如上模擬圖若大氣入射角為θ、水滴內折射角為ψ，(1)則外反射之反射率須分為磁場與反射面平行或垂直而分別討論，各以Ｒ//或Ｒ⊥來表示Ｒ⊥(θ，ψ)＝Ｒ//(θ，ψ)＝(由此可見Brewster角)∴總反射率為Ｒ(θ，ψ)＝透射率則為ｓ(θ，ψ)＝１－Ｒ(θ，ψ

3、)(2)若為內反射與折射，則反射率因全反射的臨界角(θc)，使函數壓縮如下令Ｒ’⊥(ψ，θ)＝Ｒ’//(ψ，θ)＝∴總反射率為Ｒ’(ψ，θ)＝透射率則為Ｓ’(ψ，θ)＝１－Ｒ’(ψ，θ)(3)最後經三次(透射、反射、透射)篩選後，剩餘的能量比例Ｅ應為Ｅ＝Ｓ(θ，ψ)×Ｒ’(ψ，θ)×Ｓ’(ψ，θ)Ｅ與入射光截距的關係圖如下：比較偏向角與截距的關係圖似乎剩餘比例最大處的截距與造成實驗偏角42°處的截距並未完全吻合，這又使推理重新進入五里霧中，難道這一切理論都有問題嗎？三、突破：如上圖中剩餘率是指每一條不同截距的光束所剩餘的能量比例，但以人類的視覺極限，絕對無法分辨極小角度

4、的差異。換句話說，即我們所接受來自各偏向角的光能，是在各附近角度的能量總和，如下圖比較40°～42°與30°～32°角度的截距範圍，再將其截距範圍內的能量積分(函數圖下方之面積)，即可得此兩角度的能量比。由圖中可看出兩角度的能量差距甚大。∥︳︱︳30~3240~42由此方法又可得到偏向角與其相對亮度的函數的完美圖形，如下：由其函數圖形可見在偏向角42°時能量急劇上升，由此總算可解釋，為何只有固定偏向角才可見一特別色光。在圖形中隱約可見能量分佈有兩個起伏，分別在33°與26°時，則可推理在此角度應隱約可見彩虹，只是強度比一般彩虹弱得多了。四、霓的偏角：在陽光經由水滴內部兩

5、次反射，再折射出來的色光，我們一般稱之為「霓」有別於虹。其偏向角在51°～54°，它的原理是否也可用虹的方法解釋呢？(1)偏向角與截距：經兩次內反射而有可能看得見的色光(與陽反向)，其截距須大於0.625Ｒ，且如下圖，若射光之截距等於ｘ設水珠半徑，折射率偏向角由上頁函數所得截距與偏向角的關係圖如下(1)光剩餘率與截距的關係(2)偏向角與其總亮度：如上累加同一範圍偏角的能量比例，製作函數圖形如下：如此亦可看出紅色的霓光，在約51°時能量劇增，可圓滿解釋霓的偏向角。(4)虹與霓的能差：由上述的關係亦可知虹與霓除了偏角、色光的分布次序不同以外，更可從偏角相對亮度的極大值(虹為

6、2.75、霓則為0.55)比較，由此可知虹的相對亮度是霓的5倍以上，無怪乎彩虹較霓更為眩目光采。