拉格朗日中值定理在高考题中妙用

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1、拉格朗日中值定理在高考题中的妙用一．拉格朗日中值定理[1]拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件：（i）在闭区间上连续；（ii）在开区间内可导；则在内至少存在一点，使得.几何意义：在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线（如图）二．求割线斜率大小-----------几何意义的利用由拉格朗日中值几何意义可知:曲线上两点的割线斜率,可以转化为曲线上切线的斜率.即连续函数上任意两点的连线总与某条切线平行.下面通过下题具体分析.例1：（2011年福建省质检理19题）已知函数（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）设问是

2、否存在实数，使得函数上任意不同两点连线的斜率都不小于？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.解（Ⅰ）略（Ⅱ）当时，，假设存在实数，使得的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于，即对任意，都有即求任意两点割线斜率的大小，由中值定理知存在，有转为求切线斜率的大小.即在上恒成立.（以下同参考答案）评析：该题若用初等方法解决，构造函数同是本题的难点和突破口．将转化为转而考查函数，学生不是很容易想到，但若利用拉格朗日中值定理，则只需求二次导函数在所给区间的最小值即可，学生易接受．二．利用拉格朗日中值定理证最值（1）证或-------------

3、即证与的大小关系例2：（2009年辽宁卷理21题）已知函数（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）证明：若，则对任意，，有.（Ⅰ）略；（Ⅱ）要证成立，即证.令，则.由于，所以.从而在恒成立.也即.又，，故.则，即，也即.评注：这道题（Ⅱ）小题用初等方法做考虑函数.为什么考虑函数很多考生一下子不易想到.而且的放缩也不易想到.（2）、证明或成立（其中，）----------即证或例3：（2007年高考全国卷I第20题）设函数.[2]（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）证明：若对所有，都有，则的取值范围是.（Ⅰ）略.（Ⅱ）证明：（i）当时，对任意的，都有(ii)

4、当时，问题即转化为对所有恒成立.令，由拉格朗日中值定理知内至少存在一点（从而），使得，即，由于，故在上是增函数，让得，所以的取值范围是.评注：用的是初等数学的方法.即令，再分和两种情况讨论.其中，又要去解方程.但这有两个缺点：首先，为什么的取值范围要以为分界展开.其次，方程求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦.例4：（2008年全国卷Ⅱ22题）设函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围.证明（Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：当时，显然对任何，都有；当时，由拉格朗日中值定理，知存在，使得.由（Ⅰ）知，从

5、而.令得，；令得，.所以在上，的最大值在上，的最大值.从而函数在上的最大值是.知，当时，的最大值为.所以，的最大值.为了使恒成立，应有.所以的取值范围是.评注：这道题的参考答案的解法是令,再去证明函数的最小值.这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数,要对参数进行分类讨论;其次为了判断的单调性,还要求和的解,这个求解涉及到反余弦,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省去讨论.再次体现了高观点解题的优越性.三．利用拉格朗日中值定理证不等式近几年的数学高考中，出现了不少含有拉格朗日中值定理的试题．常以不等式恒成立问题

6、为基本切入点，具有一定的深度，既符合高考命题“能力立意”的宗旨，又突出了数学的学科特点，较好地甄别了学生的数学能力．下面以近几年全国各地的数学高考试题为例，说明拉格朗日中值定理的不同形式在高考中不等式的应用，更好地体会用“高观点”解题的优势．（1）用于证明与的大小关系例5：(2006年四川卷理第22题)[3]已知函数的导函数是，对任意两个不相等的正，证明：（Ⅱ）当时，.证明：由得，，令则由拉格朗日中值定理得：下面只要证明：当时，任意,都有，则有，即证时，恒成立.这等价于证明的最小值大于.由，当且仅当时取到最小值，又，故时，恒成立.所以由

7、拉格朗日定理得：.评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.体现了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要性.（2）证明，，三者大小的关系例6：（2004年四川卷第22题）[3]已知函数.（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）设，证明：.证明（Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：依题意，有，由拉格朗日中值定理得，存在，使得评注：对于不等式中含有的形式，我们往往可以把和，分别对和两次运用拉格朗日中值定理.例7：(2006年四川卷理第22题)已知函数的

8、导函数是，对任意两个不相等的正数，证明：（Ⅰ）当时，证明：（Ⅰ）不妨设，即证．由拉格朗日中值定理知，存在，则且，又，.当时，.所以是一个单调递减函数，故从而成立，因此命题获证．四：利用拉格朗日定理证明根的存