直线和圆参数方程

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1、直线及圆的参数方程　　教学重点和难点:　　直线参数方程及圆的参数方程的基本形式，对直线标准参数方程中参数t的理解，非标准参数方程如何化为标准方程并求出倾角，并应用直线参数方程解决有关问题。　　例题分析:　　例1．下列各式中，哪一个是直线的三角式方程，试述理由，若是点角式参数方程时，写出始点和倾角，若不是，化为点角式参数方程。　　（1）（t为参数）；（2）（t为参数）；（3）（t为参数）　　解:（1）始点（-2，3），倾角为π是点角式参数方程。　　（2）不是点角式参数方程，不满足为点角式参数方程的必要条件，即a2+b2=1。　　但是形如（t为参数）的可化为参数方程的标准

2、式即（t为参数）　　（3）（t为参数）不是点角式参数方程，令t'=-t，得，　　∴直线始点为（-2，2），倾角为。　　例2．写出过点A（1，-2），倾角为45°的直线l1的点角式参数方程，若l1与l2:x+2y-4=0相交于B。　　（1）求

3、AB

4、；（2）求点B的坐标。　　解:设l114的参数方程为:　　（I）（t为参数）　　把（I）代入l2方程，1+t+2(-2+t)-4=0　　解出t=（II），　∴

5、AB

6、=

7、t-0

8、=　　把（II）代入（I）得:B(,)。　　小结:从此例可看出应用三角式参数方程求距离很简捷。　　例3．求椭圆=1中斜率为2的平行弦中点的轨迹。　　

9、解：（1）用普通方程解决，设弦中点P(x0,y0)，弦的两端点A(x1,y1),B(x2,y2)　　由已知得:　　(1)-(2)：=0，　　∴.........(6)　　将(5)代入(6)，∴2=,∴x0+3y0=0,轨迹为含在椭圆内的一条线段。14　　法（2）参数方程解题设弦中点P(x0,y0)，弦的倾角为a，　　∴平行弦的直线参数方程为:（t为参数）(1)　　将（1）代入2x2+3y2-6=0中，整理后得:　　(2cos2α+3sin2α)t2+2(2x0cosα+3ysinα)t+2x02+3y02-6=0,　　∴t1+t2=　　∵P为弦中点，∴t1+t2=0，

10、即2x0cosα+3y0sinα=0，又tgα=2,∴2x0+6y0=0,　　∴P点轨迹是方程为x+3y=0在椭圆=1内的一条线段。　　小结:此例用普通方程及参数方程对比解决，体会参数t的几何意义，其中t1+t2=0对点角式方程而言具有普遍的意义，常用于解决弦中点问题。　　例4．设M，N是抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上两点，且它们关于顶点O对称，过M，N作两条平行线，分别交抛物线于P1，P2，Q1，Q2，求证:

11、MP1

12、·

13、MP2

14、=

15、NQ1

16、·

17、NQ2

18、。　　证明:由已知可设M(a,0),N(-a,0)(a>0)则直线MP1，NQ1的参数方程为:　　（1）和

19、（2）其中t是参数，α是倾斜角。　　把（1）（2）分别代入y2=2px中，由韦达定理可得:

20、MP1

21、·

22、MP2

23、=，　　

24、NQ1

25、·

26、NQ2

27、=，∴

28、MP1

29、·

30、MP2

31、=

32、NQ1

33、·

34、NQ2

35、　　评述:此例中应用了点角式参数方程中t的几何意义，即

36、t1

37、,

38、t2

39、为相应点到定点M的距离，据此证明了关于线段的等式问题。　　例5．椭圆长轴

40、A1A2

41、=6，焦距

42、F1F2

43、=4，过椭圆焦点F1引直线交椭圆于M，N两点，设∠F2F1M=α，α∈[0,π），若

44、MN

45、等于短轴时，求α。14　　解:∵a=3,c=2,b=1,F1(-2,0)，∴椭圆方程+y2=1。　　法（1）设

46、MN所在直线参数方程为....(1)（t为参数）　　将(1)代入+y2=1得:(1+8sin2α)t2-4tcosα-1=0　　∴t1+t2=,t1·t2=,2b=2。　　∴

47、t1-t2

48、2=,　　∴=22,∴sin2α=,　　∵α∈[0,π），∴sinα=,∴α=或π。　　（法二）设MN方程:y=k(x+2)　　x1+x2=......(1),x1·x2=.........(2)　　∵

49、MN

50、=

51、x1-x2

52、.......　又

53、x1-x2

54、2=(x1+x2)2-4x1x2......(3)　　将(1),(2)代入(3)，将(3)代入(I)解得:k2=(下

55、略)　　另；∵e=,M(x1,y1),N(x2,y2)由第二定义:

56、MF2

57、=ex2+a,

58、MF1

59、=ex1+a　　∴

60、MN

61、=e(x1+x2)+2a=(x1+x2)+6,∴2=·+6,∴k2=(下略)。14　　评述:利用直线参数方程，常常解决弦长的问题，对比普通方程的弦长公式可知，形式上要简捷，运算上也将更加简化，减少运算的出错可能。　　例6．过M(-1,0)的直线l交双曲线x2-y2=10于A，B两点，且

62、MA

63、=3

64、MB

65、，求直线l的方程。　　分析:∵

66、MA

67、=3

68、MB

69、，若设普通方程，则两线段间的上述关系表述很繁琐，条件不利于应用。设