赛氪考研：数学常数e的直观理解

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1、数学常数的直观理解被称为自然常数，是一个约等于2.71828182845904523536……的无理数。自然常数与圆周率都是超越数，的含义可以通过下图的割圆术直观形象地理解。图1假设等边形的对角线长为1（即圆的直径为1），只要等边形的边足够多，算出来的周长就可以越来越接近圆周率。但的含义却很难找到这样直观的例子，在《AnIntuitiveGuideToExponentialFunctions&e》一文中，我们找到了很直观地解释。利息中的假设你在银行存了1元钱（如图2的蓝圆圈），很不幸发生了严重的通货膨胀，

2、银行存款利率达到了逆天的100%。银行一般1年才付一次利息，根据下图2，满1年后银行付给你1元利息（如图2的绿圆圈），那么这时存款余额为2元；图2银行发善心，每半年付一次利息，你可以把利息提前存入，利息再生利息（如图3的红圆圈），1年下来，存款金额为2.25元；图3假设银行超级实在，每4个月就付利息，利息生利息（如图4的红圆圈、紫圆圈），年底的余额≈2.37元；假设银行人品爆发，一年365天，愿意天天付利息，这样利滚利的余额≈2.71456748202元；假设银行丧心病狂地每秒付利息，你也丧心病狂地每秒都

3、存入，1年共365*24*3600=31536000秒，利滚利的余额≈2.7182817813元。告诉我大家发现什么啦？是不是发现利滚利的余额银行付利息的周期缩短，越来越接近自然常数了？但有些人可能会有疑问，如果我们将银行结算利息的周期无限缩短，那么我们每年得到的余额会不会无限增多呢？答案是否定的，1元存1年，在年利率100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一个无法突破的天花板，这个天花板就是。细胞分裂中的我们再来举一个例子，这个例子也是对e直观含义的极好诠释。与上述例子不同的是，我们用数学语言将其表述出来

4、，而不是图形化。某种类的一群单细胞生物每24小时全部分裂一次。在不考虑死亡与变异等情况下，那么很显然，这群单细胞生物的总数量每天都会增加一倍。据此我们可以写出它的增量公式：，表示天数。这个式子可以改写成如下的样子：其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内（24小时）的增长率。根据细胞生物学，每过12个小时，也就是分裂进行到一半的时候，平均会新产生一半原数量的新细胞，新产生的细胞在之后的12小时内已经在分裂了。因此一天24个小时可以分成两个阶段，每一个阶段的细胞数量都在前一个阶段的基础上增长50%：即在

5、一个单位时间内，这些细胞的数量一共可以增至为原数量的2.25倍。倘若这种细胞每过8小时就可以产生平均1/3的新细胞，新生细胞立即具备独立分裂的能力，那就可以将1天分成3个阶段，在一天内时间细胞的总数会增至为：即最后细胞数扩大为2.37倍。实际上，这种分裂现象是不间断、连续的，每分每秒产生的新细胞，都会立即和母体一样继续分裂，一个单位时间（24小时）最多可以得到多少个细胞呢？答案是：当增长率为100%保持不变时，在单位时间内细胞种群最多只能扩大2.71828倍。数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，

6、持续的翻倍增长所能达到的极限值。这个值是自然增长的极限，是“自然律”的精髓所在，因此被称为自然常数；简单说来，就是增长的极限。的近似表达这个很漂亮的无理数的近似表达，它恰好用到了1到9这9个数字。猜猜看它能精确到的小数点后多少位？10位？100位？1000位？10000位？远比想象中的牛B，它能精确到小数点后18,457,734,525,360,901,453,873,570位！显然，这绝对不是一个巧合。它的秘密就在于事实上等于，而恰好就等于。这个指数相当大，Mathematica直接就报Overflow

7、了，难怪它能精确到的小数点后那么多位。