2013考研数学模拟卷数二3答案

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1、2012考研数学模拟试卷三【数二】解析一、选择题（1）B解：因为，所以，因此并将其代入原式（2）解：首先由，得。又因为在的某邻域内有二阶连续导数，于是。其次，根据极限保号性，在的某去心邻域内必然有，即在两侧变号，于是为曲线的拐点。（3）C解：由导数的几何意义，应选（C）（4）解：因为，所以，而，由夹逼定理得原极限为零。（5）C解：由，当固定时，对单调下降，故对时，有；又由，，当固定时，对单调上升，故对时，有；因此，当时，有.应选(C).（6）A解：令7（7）解：设，由已知条件有。即为方程组的非零解。由于线性无关，

2、所以方程组系数阵的秩为3，所以其基础解系为1个解向量，从而向量组的秩为1。（8）C解=2x;A特征值：2,1,x；对应特征值为：x，2x，2；解得x=-1或-2二、填空题（9）（10）解：因为，令其中，得，则(11)解：令，原方程变为方程两边对求导得再两边对求导得，即由得，故(12)解：；7（13）(14)【形式不唯一，只要是对角线上为-1，-2，-3就对】解：由，知的特征值为，相似矩阵具有相同的特征值，所以的特征值也为，故相似的标准形为三、解答题(15)解：（I）若要在处连续，必须，即故，为任意实数时，在处连续

3、。（II）若要在处可导，则必须在处连续（），且所以所以，时，在处可导（16）解：因为在时，曲线有水平渐近线，所以．于是有原式　　　　　．（17）证明：采用移项作辅助函数，初值加增减性分析法。7。要证明，即要证明，只要证明。令则。，。因为，所以单调增加，于是。由，得。再由，得，所以，原不等式得证。（18）解：令则，则原方程化为时，，不符合初始条件，舍去。所以原方程化为，解得。由初始条件得，从而，所以。由，得。原方程的解为。（19）解：，切线方程为，与轴的交点坐标为。7切线旋转后的旋转体体积为，曲线转转后的旋转体的体

4、积为。此容器的质量为。容器内表面积为。（20）证明：由于在上可导，知在上连续，从而在上连续.由积分中值定理，知存在一点使得在上，由罗尔定理得至少存在一点使，即，.（21）解：（22）解：(Ⅰ)二次型的矩阵由是的特征值，有7得到.由矩阵的特征多项式得到矩阵的特征值是，.对，解齐次方程组得基础解系，对，解齐次方程组得基础解系.因为不正交，故需Schmidt正交化，有，.再单位化，得，，那么令，则在正交变换下，有(Ⅱ)条件，即.而可知在条件的极小值，即在条件下的极小值.由于，所以.而极小值点是7.(Ⅲ)因为矩阵的特征值

5、：7,7,-2.所以，那么的特征值为：-14,-14,49.从而的特征值为，，.因此，时，正定.（23）解：（1）由得。。又得。（2）的特征值为0，0，3。对应的特征向量为；对应的特征向量为，令，则有。7